幾つかの交項級数の書き換え

　交項級数について、a=Σn=1～∞(-1)^(n-1) an　（an≧0）のような数列が収斂するかどうかについて、

　ライプニッツ(leibniz)氏が定理を定めています。　an≧an+1　であれば必ず収斂する。

　証明：a=a1-a2+a3-a4+a5-a6+…　　　　a=(a1-a2)+(a3-a4)+(a5-a6+)…　　≧0　　　a=a1-(a2-a3)-(a4-a5)-(a6-… ≦a1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　なのでこの級数は必ず収斂する。

　①最初は連分数の展開についてです。連分数は分数が重なる形をしていて、なかなか美しい形の数式だと思います。これはオイラー氏によるものですが、書き残しておいても、興味ある方には、参考に成ると思います。

　1/A-1/B+1/C-1/D+…=1/(A-(AA/(B-A+(BB/(C-B+(BB/(D-C+(CC/(E-D…))))))))　　・・・・・・

成る等式についてです

　※1/A=1/a : 1/A-1/B=1/(a+(β/b)) と置きます。(AB)/(B-A)-a=β/b=AA/(B-A)

同様にして、1/B-1/C=1/(b+(γ/c))と置きます。(BC-AC+AB)/(ABC)=1/(a+(β/(b+γ/c)))　が成立する事は明らかだと思います。(ABC)/(BC-AC+AB)=a+(β/(b+γ/c))　　AA(C-B)/(BC-AC+AB)=β/(b+γ/c))　ここでAA=β また　b=B-A　とすると、(C-B)/(BC-AC+AB)=1/(B-A+γ/c)) 　　γ/c=(BC-AC+AB)/(C-B)+A-B=BB/(C-B)

　　　　　　　　　　　この手続きを繰り返す事によって連分数が得られることが分かると思います。

　②階差級数の構築についてです。

　　　　　　a=Σn=0～∞(-1)^n an　成る形の収束する数列（an≧an+1)について

　　　2a=a0+Σn=0～∞((-1)^n an+(-1)^(n+1)an+1) のように、作られた数列を階差数列と呼びます。

　例えば、b=1-1+1-1+1-1+…（-1)^n…のような数列に当てはめると、

　　　2b=1+Σn=0～∞((-1)^n-(-1)^(n+1))=1 なので、　b=1/2である事が簡単に分かります。

　※ゴットフリード・ウィルヘルム・ライプニッツ(１６４６年～１７１６年）：ドイツの数学・哲学・天文・等の学者　ライプニッツ級数が有名：π/4=1-1/3+1/5-1/7+…　この式も交項級数と成っています。この時代の円周率の研究は、連分数と級数を使った段階でした。