完全数

　完全数について書いてみようと思います。ネット上でも、多くの方が書かれていて、記述が重複する事も有ると思いますが、その場合はご容赦願います。

　完全数（Perfect number)：自然数N（＞1）が、Nの全ての約数ｄの和に等しい数

　６＝２＊３＝１＋２＋３　：　２８＝４＊７＝１＋２＋４＋７＋１４　：　４９６＝１６＊３１＝１＋２＋４＋８＋１６＋３１＋６２＋１２４＋２４８　：　８１２８＝６４＊１２７＝Σi=0～i=6２^i+(２^7-1)(Σi=0～i=5２^i)＝(２^7-1)+(２^7-1)(２^6-1)＝２^6（２^7-1)　：　このような数です。

　※仮説①：qが素数でありＭq＝２^q-1が素数であるならば、N＝２^(q-1)(２^q-1)は完全数である。

　※仮説②：奇数の完全数は存在する。（Ｍｑはメルセンヌ数を表しています。）

　この２つの問題について、仮説①の式を一般化して、Ｎ＝Ｐ^(q-1)(Ｐ^q-(Ｐ-1))　：　｛Ｐ^q-(Ｐ-1)｝∈Ｐ(素数）の場合について検討してみます。まず、自然数Ｎの約数をｄi（i={1.2.3・・・・Ｄ(N)｝）とします。D(N)はＮの全ての約数の個数です。

　Σi=0～D(N)di ＝Σi=0～q-1Ｐ~i+(Ｐ^q-(Ｐ-1))Σi=0～q-2Ｐ^i 　　　　　　　　

　　　　　　　　＝(Ｐ^q-1)/(Ｐ-1)+(Ｐ^q-(Ｐ-1))(Ｐ^(q-1)-1)/(Ｐ-1)

　　　　　　　　＝1/(P-1){Ｐ^(q-1)(Ｐ^q-(Ｐ-1)+Ｐ－２)}

この結果により、　Ｎ－（Ｐ-1）Σi=0～D(N)di ＝-（Ｐ-２）　と成ります。自然数Ｎが完全数である為には、Ｐ＝２でなければなりません。これは仮説①については肯定的であり、仮説②については否定的な結果です。

　次に、仮説①の条件について検証してみます。

　｛Ｐ^q-(Ｐ-1)｝∈Ｐ(素数）が、Ｎが完全数である為の必要条件であるかどうか、｛Ｐ^q-(Ｐ-1)｝≡x(x+a)として考えてみます。この時、約数の和は、1+2x+aですが、(2x+a+1)/(x^2+x)について考えてみると、xの増大化に対して限りなく小さくなり事が分かります。Ｎが完全数である為には，必要な条件であると考えられます。

　次に、メルセンヌ(Mersenne)数についてです。Mq=2^q-1(qは素数)　M1=1 M2=3 M3=7 M4=15 M5=31 M6=63 M7=127M8=255 M9=511 M10=1023 M11=2047…となる数です。ちなみにM11=23*89はと成ります。あとは、M12=4095 M13=8191 ……

　※qが合成数である時、Mqは合成数と成ります。2^(a*b)=(2^a-1)Σi=1～b　2^(a(b-i)) と因数に分解する事ができます。

※q=2^eR+1となる素数でありかつ、Mq=2^q-1(メルセンヌ数）が合成数である場合についてです。　Rは奇数とします。

　　　2^(q-1)-1=(2^R-1)(2^R+1)・・・・(2^(e-1)R+1)　　　(2^α±1)|(2^(q-1)-1) 　 α∈｛2^i(i=1.2.・・・e-1)・R・2^(e-1)R} です。

　 2^(q-1)-1=(2^α±1)x ：x={2^(q-1)-1}/(2^α±1)

2^q-1 =2(2^α±1)x +1 ・・・・①と表すことができます。　R>1 : e>1

　　2(2^α±1)x +1≡｛2(2^α±1)a-1}{2(2^α±1)b-1) という形の因数に分解されるものとします。この時、x≡2(2^α±1)ab-(a+b)です。　①の式より、2^q-1=2(2^α±1)｛2(2^α±1)ab-(a+b) ｝+1 要するにこの式を満たすようなa>0:b>0を見つける事が出来ると良いのですが。難しい問題です。基本的に「素数」と「素数の累乗数」は、Ｐ＝∏i=1～ｎPi+∏ｊ=ｎ+1～ｍPｊまたは、Ｐ＝∏i=1～ｎPi+Pm：(m>nかm=0:P0=1です。)なる形をしているので、Ｍｑがこのような形に当てはまるかどうかを、調べた方が、正確だと考えます。