円と球(ⅳ)

　円周率を求める方法にモンテカルロ法と言う方法が有ります。電子計算機にプログラムを入れて円周率を求めるのですが、１９世紀には、フランスの数学者、ピエール・シモン・ラプラスによって成されております。と言う事は、今から２００年以上前に、プログラム的な発想によって、円周率とを求めることを考えついていたのです。現在においては、かなり重要なアイデアと成っております。(このころまだ電子計算機は現れていなかったのですが、プログラムだけが存在しています。「電子計算機の発現」は時間の問題だと確信していたのかも知れません。）

　このモンテカルロ法のルーツと言えるのが、「ビュフォンの針」です。１８世紀、フランスの数学者　コント・ド・ビュフォン氏です。間隔ｄの平行な直線を並べた上に、長さＬの針を無作為に投げ、針と平行にひかれた直線が交わる確率を求める問題です。

　ｘ：針の中心と、最も近い平行線までの垂直距離（ｘの範囲：0≦ｘ≦ｄ/2）　　φ：平行線と針の角度（φの範囲：0≦φ≦π）　　Ｐ（　）：かっこ内の確立を表す。従って、ｘ≦½Ｌsinφの確率はP(ｘ≦½Ｌsinφ）と表されます。ここでｘとφの２次元グラフを作ります。

　ここで扱われる全てのケースは、Ｄ＝ｄ/２×πと言う、面積で表わされます。

　また針と平行にひかれた直線と交わるケースも面積で表わされます。　Ｄｐ＝（1/2）ＬＳｕｍｍa　０～π　ｓｉｎφ　ｄφ＝Ｌ　と成ります。

　これにより　P(ｘ≦½Ｌsinφ）＝Ｄｐ/Ｄ＝２Ｌ／（πｄ）と表されます。（この「ビュフォンの針」については、ネット上にも、いくつか掲載されています。）

　ラプラス氏は、これを変形して　π＝２Ｌ／（ｄＰ）　としました。ここでＰは実際にシュミレートして確率を求める事になります。さらに簡略化して、π＝２/Ｐ（Ｌ＝ｄとして）　確率P(ｘ≦sinφ)　「ｘとφ」、（ｘの範囲：0≦ｘ≦１・φの範囲：0≦φ≦π）　それぞれについて、「任意に発生する乱数」を用いて、条件(ｘ≦sinφ)を「満たす」か「否」かのシュミレーションを行います。乱数の発生が、適切に行われていれば、π（円周率）が自然と求められるのが分かると思います。ラプラス氏は、このシュミレートを実行するにあたり、アナログ的な手法を用いていたようです。でも「電気技術系で使われる道具」としての数学（ラプラス変換等・・・）を、残した人物としての先見性は、なかなかの物だと思います。

　乱数の問題については、別の機会に、頭の中を整理してから書いてみようと考えています。