ベルヌーイ家の憂鬱

　ベルヌーイ家、優秀な数学者を数多く輩出した家系です。数学の世界にとっては、特筆すべきことだと思います。ベルヌーイ数についてフイクションを交えて書いてありますので、ご了承願います。

　窓の外から、澄みきった秋空の柔らかい日差しが入ってきます、そんな教室では、ヨハン先生が、ぼそぼそと聞き取りにくい声で、講義をしています。

　「ベルヌーイ数(ベルヌーイ多項式）Ｂn（ｘ）とは、Ｂ0（ｘ）＝1・Ｂ’n（ｘ）＝ｄＢｎ（ｘ）/ｄｘ＝ｎＢｎ-1（ｘ）となる性質が有り、n≧1・ｘ∈Ｒ　この多項式Bn(x)に対しての数列ＢｎをＢn＝Bn(0)　ｎ∈Ｎ　と定義されるので　Bn(x)=Bn(x)-Bn(0)+Bn(0)=Summa0～ｘB'n(t) dt+Bn=nSumma0～ｘBn-1(t)dtと成ります。ｎが３以上の奇数の時、Ｂｎ＝０となる性質が有ります。」

　生徒の一人が。「ヨハン先生、ｎが３以上の奇数の時、ベルヌーイ数Ｂｎは、何故０となるのですか？」と質問しました。

　ヨハン先生「そうだな。B1(x)=Summa0～ｘＢ0(t)dt+B1=x+B1・Summa0～1B1(t)dt=0 x^2-C（C：積分定数）　C＝1/2＝B1なので、B1(x)=x-1/2と成ります。次に、B2(x)=2Summa0～ｘB1(t)dt+B2=x^2-x+B2 同様にして、Summa0～1B2(t)dt=x^3/3-x^2/2+C=0　C=1/6=B2と成り、これにより、B2(x)=x^2-x+1/6と成ります。更に、　B3(x)=3Summa0～ｘB2(t)dt+B3=x^3-3x^2/2x+x/2 同様にして、Summa0～1B3(t)dt=x^4/4-x^3/2+x^2/4+C=0　C=0=B3　なのでＢ3＝0です。」

　その時、授業終了のベルが鳴った。ヨハン先生は、微笑みを浮かべて「今日の授業はこれまで。続きは、明日だ。」と言って、教壇を降りて、つかつかと帰ってしましました。

　翌日、曇り空で、教室は、少し薄暗かったですが授業には差し支えない明るさでした。ヨハン先生は、ベルヌーイ数の続きを、説明しております。「昨日の結果から、B3(x)=x^3-3x^2/2+x/2と成ります。　B4(x)=4Summa0～ｘB3(t)dt+B4=x^4-2x^3x+x^2 同様にして、Summa0～1B4(t)dt=x^5/5-x^4/2+x^3/3+C=0　C=-1/30=B4これにより、B4(x)=x^4-2x^3x+x^2-1/30と成ります。次に、B5(x)=5Summa0～ｘB4(t)dt+B5=x^5-5x^4/2+5x^3/3-x/6 同様にして、Summa0～1B4(t)dt=x^6/6-x^5/2+5x^4/12-x^2/12+C C=0　C=0=B5　なのでＢ5＝0です。」

　昨日に続き、授業終了のベルが鳴った。ヨハン先生は、微笑して「今日の授業はこれまで。続きは、明日だ。」と言って、教壇を降りて、つかつかと帰ってしましました。

　翌日、あいにくの雨空で、教室は、薄暗く蛍光灯を点けて授業を始めました。ヨハン先生は、ベルヌーイ数の続きを、説明しております。「昨日の結果から、B5(x)=x^5-5x^4/2+5x^3/3-x/6と成ります。B6(x)=……」

　その時、一番優秀な、ダニエル君が手をあげて、「お父さん、そんなんじゃ駄目だよ。Bn=nSumma0～1ｘBn-1（x）dxを２通りの方法で解くんだよ。部分積分法を用いた時Bn(1)-Bn(0)=B0-nC1B1+nC2B2-nC3B3+…+(-1)^(n-1)nCn-1Bn-1(左辺についてｎが偶数の時はBn(0)-Bn(1)として扱う）　またテイラー展開を用いた時、Bn(x)=Bn(0)+nCBn-1(0)x+nC2Bn-2x^2+……+nC1B1(0)+B0(0) となり、係数の絶対値が等しくなるが、nが奇数の時の係数の符号が逆になっても式の値には影響を与えない事から、nが3以上の奇数の時、Bn=0であると言えるんだよ。」

　生徒たちは「おお！」と感嘆し。ヨハン先生は、「……」と苦笑しながら。呟いたそうな。

　ベルヌーイ数は、不思議なくらい、数学の定理（微分・積分・２項定理等）をそのまま使える「数」です。その「数」どうしの関係は、綺麗に整備されていて、美しささえ感じるほどです。何故この様な関係数が考えられたのか、不思議です。ベルヌーイ数自体を研究するために、有るような気もします。