補間（後）

　補間（前）の続きです。スプライン関数（Spline fanction)について、もう少し具体的に、書いてみようと思います。

　データ間をつなぐ、曲線を示すのに、其都度、式を作り変えていたのでは、あまりにも不合理です。そこで考え出されるのは、基底関数を作る・多項式の係数を変数として式を変化させる・式の平行移動・等色々な手法が考えられています。

　基底関数を作る：カーディナルスプラインで利用される手法です。基底には、４次又は６次の多項式の中心部を切り取って使用しています。（ちょうど三角関数の１周期分と似たものです。）その関数は、０以上１以下の範囲に収まるように設定され、補完する節点の数だけ基底が用意されます。１本の基底関数を例に取ってみると、｛０・０・０・１・０・０・０・０・０・０｝をつなぐ、直線距離１の曲線（０・０の間も曲線で示されます。）が示されます。データパッケージ化する事ができるので、補間する節点の数値は、正確に反映されます。あまり節点の値が大きくなりすぎると、曲線のふくらみも大きくなるので、節点数値の標準化（平均値を０として使用する）等の工夫が必要と成ります。

　多項式の係数を変数として式を変化させる：３次の多項式　y(x)=ax^3+bx^2+cx+d ・・・①は、点ξ1(0.1)・点ξ2（e.０）を通り、この多項式y(x)の接線の傾きは、y'(x)=3ax^2+2bx+c で示されるので、点ξ1での接線の傾きは、y'(0)=α1とすると　c=α・d=1次に、点ξ2においても同様にして y(e)=ae^3+be^2+α1e+1=0 は ae^3+be^2=-α1e-1となる。次に点ξ2での接線の傾きは、y'(e)=3ae^2+2be+α1=β1として　3ae^3+2be~2=β1e-α1e と成るので、消去法を用いて、a=(β1e+α1e+2)/(e^3) 更に、b=-(2α1e+β1e+3)/(e^2) と成るので、①の式は、y(x)={(β1e+α1e+2)/(e^3)}x^3+{(2α1e+β1e+3)/(e^2)}x^2+α1x+1 ・・・②となります。　次に、点ξ3(0.0)・点ξ4（e.1）を通る①の式について考えます。前記と同じようにして、解くと,c=α・d=0・a=(β2e+α2e-2)/(e^3)・b=(2α2e+β2e-3)/(e^2)と成ります。y(x)={(β2e+α2e-2)/(e^3)}x^3+{(3-2α2e-β2e)/(e^2))}x^2+α2x+1 ・・・③　もう少し普遍的に書いてみると、②と③の多項式が、とりあえず基底と成ります。

　ξ0(x0.y1)・ξ1(x1.y1)・・・ξi(xi.yi)・・・・ξn(xn.yn)・ξn+1(xn+1.yn) 節点は1～ｎまでですが、両側に節点を重複させる。節点ξi(xi.yi)とξi+1(xi+1.yi+1)を補間する事を考えてみます。y②(x)={(βie+αie+2)/(e^3)}x^3+{(2αie+βie+3)/(e^2)}x^2+αix+1 ・・・②　e=xi+1-xi・αi={(yi-yi-1)/(xi-xi-1)+(yi+1-yi)/(xi+1-xi)}／(２yi)・βi={(yi+2-yi+1)/(xi+2-xi+1)+(yi+1-yi)/(xi+1-xi)}／(２yi+1)・x=x-xiとして②の式を構成します。y③(x)={(βi+1e+αi+1e-2)/(e^3)}x^3+{(3-2αi+1e-βi+1e)/(e^2))}x^2+αi+1x+1 ・・・③の式についても同様にして、構成すると、補間関数はｆ（ｘ）＝yiｙ②（ｘ）+yi+1ｙ③（ｘ）と成ります。(βi+1=βi・αi+1=αiとした方が都合が良い) 後は、同じ要領で順々に節点をつないでゆきます。

　前記で平行移動についても、記述してあるので省略させていただきます。スプライン関数は、かなり自由に曲線をデザインできるので、興味のある方は、工夫してみてください。