有理点(ⅰ)

　楕円曲線状に、有理点を見つける問題に付いてです。とても難しい問題なので、勉強と考察を交えての執筆となります。個人的に勉強不足な所もあると思いますが。ご勘弁ください。よろしくお付き合いのほどをお願いします。（有理点とは、座標が、Q:有理数（分数）で、表される点の事です。）

　最初は円周上のおける有理点についてです。円周上の点(x,y)に対して、x=(1-t^2)/(1+t^2) y=2t/(1+t^2)　(円と球(ⅴ)で詳しく書いてあるので参照してください。）　t^2が有理数である時この点は有理点となります。ここからは、x^2+y^2=aとしての考察です。x=m/α・y=n/α と表現する時。α^2=(m^2+n^2)/a と成ります。　a=1の時、円周上に無限に有理点が存在することが、分かると思います。

　次にa=2ですが、先にa=3についてです。(m^2+n^2)mod3=0なるmnが存在するか否かについて考えてみます。m mod 3=1の時　m^2 mod 3 =1 ・m mod 3=2の時　m^2 mod 3 =1 ・m mod 3=0の時　m^2 mod 3 =0となり　nについても同様に成ることがいえます。(m^2+n^2) mod 3= 0と成る時は、m mod 3 =0 かつ　n mod 3 =0の時であり、m=3^pm0n=3^qn0とすると、(m^2+n^2)=3^(2p){m0^2+3^(2(q-p))n0^2｝となり、実質的な議論は、α^2={m0^2+3^(2(q-p))n0^2｝に移ります。α∈Qを満たすようなm,nは存在しないことになります。x^2+y^2=3の円周上には、多くとも２個しか、有理点は存在しないことになります。

　次にa=2の時についてです。α^2=(m^2+n^2)/2を満足するようなmnを見つけることが出来ればよいのですから。 α=1・2・3・4・5・6・7・8・9…の時、2α^2=2・8・18・32・50・72・98・128・182…と成ります。一方mnについても、m=1・2・3・4・5・6・7・8・9…に対してm^2=1・4・9・16・25・36・49・64・81…と成ります。少々原始的な方法ですが、この方法で、有理点を見つけることが出来ます。ここで問題となるのが、x^2+y^2=2の円周上に、有理点が無限に存在するか否かということです。もし有限個だとすると、何個有るのかと言うことも、問題と成ります。(x,y)=(1,1)・(1/5,7/5)・(1/29,41/29)・(1/169,239/169)・(1/985,1393/985)・…・(7/13,17/13)・(7/17,23/17)・(7/73,103/73)・(7/97,137/97)・(7/425,601/425)・…・(17/25,31/25)・(17/53,73/53)・(17/137,193/137)・(17/305,431/305)・(17/797,1127/797)・…・(23/37,47/37)・(23/65,89/65)・(23/205,289/205)・…・(31/41,49/41)・(31/109,151/109)・(31/629,889/629)・…・（41/85,113/85)・（41/85,113/85)・（41/89,119/89)・（41/205,287/205)・（41/481,679/481)・（41/505,713/505)・…・（47/65,79/65)・（47/157,217/157)・（47/235,329/235)・（47/905,1279/905)・…・（49/61,71/61)・（49/157,217/157)・（49/185,257/185)・（49/511,721/511)・…・（71/85.97/85)・（71/281.391/281)・…・（73/125.161/125)・（73/193.263/193)・（73/697.983/697)・…・（79/101.119/101)・（79/289.401/289)・（79/541.761/541)・（79/777.1096/777)・…・（89/85.97/85)・…等、意外と多く見つけることが出来ます。この数字には、規則性が有るようにも見えますが、数式に表す事は今のところ出来ていません。難しいです。それにこの有理点の数が有限であるか否かという確証は、得られませんでした。もう少し、検証が必要だと思います。

　きちんとした、正論を、出せなくてすみません。力量不足かも、でも少しづつでも、疑問解決に努力する予定です。

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