有理点(ⅳ)

　有理点(ⅲ)からの続きです。　考察b：曲線y^2=x^3+αx+β上の点(x1.y1)における、接線を求めてみます。接線の傾きはtanθ=(3x^2+α)/(2y)と成るので、接線はy-y1=(3x1^2+α)/(2y1)(x-x1)です。ヘッセの標準形に書き換えるとcosθy=sinθx-sinθx1+cosθy1となります。x軸と平行な直線を回転させたものとすると、x=Xcosθ-Ysinθ　y=Xsinθ+Ycosθ　を使って、cosθ(Xsinθ+Ycosθ)=sinθ(Xcosθ-Ysinθ)-sinθx1+cosθy1　Y=-sinθx1+cosθy1=Y1　と成ります。Y1は接線と原点との垂直距離と成ります。

　次に、曲線y^2=x^3+αx+βも同じ様に回転させてみようと思います。左辺y^2=(Xsinθ+Ycosθ)^2　右辺x^3+αx+β=(Xcosθ-Ysinθ)^3+α(Xcosθ-Ysinθ)+β　※この時、X=xcosθ+ysinθ　・　Y=-xsinθ+ycosθも同時に成り立つ事は明白です。点(x1.y1)→点(x1cosθ+y1sinθ,Y1)となります。ここでY=Y1とし、x^3+αx+β-y^2=0　についてx^3+αx+β-y^2≡(Xcosθ)^3-3(Xcosθ)^2Y1sinθ+3Xcosθ(Y1sinθ)^2-(Y1sinθ)^3+α(Xcosθ-Y1sinθ)+β-(Xsinθ)^2-2XsinθY1cosθ-(Y1cosθ)^2

　≡(Xcosθ)^3-{3(cosθ)^2Y1sinθ-(sinθ)^2}X^2+{3cosθ(Y1sinθ)^2-2sinθY1cosθ+αcosθ}X-(Y1sinθ)^3-(Y1cosθ)^2-αY1sinθ+β

　≡X^3-{3Y1tanθ-(tanθ)^2/cosθ}X^2+{3(Y1tanθ)^2-2tanθY1/cosθ+α/(cosθ)^2}X-(Y1tanθ)^3-(Y1tanθ)^2/cosθ-αY1tanθ/(cosθ)^2+β/(cosθ)^3

　ω1=3Y1tanθ-(tanθ)^2/cosθ

　ω2=3(Y1tanθ)^2-2tanθY1/cosθ+α/(cosθ)^2

　ω3=(Y1tanθ)^3-(Y1tanθ)^2/cosθ-αY1tanθ/(cosθ)^2+β/(cosθ)^3　　　…と置く

　X^3-ω1X^2+ω2X-ω3

　X-X1

　　(X1-ω1)X^2+ω2X

　　(X1-ω1)X-(X1-ω1)X1

　　　 (ω2+X1^2-ω1X1)X-ω3

　　　(ω2+X1^2-ω1X1)X- (ω2+X1^2-ω1X1)X1

　　　　　　　　　　-ω3+ (ω2+X1^2-ω1X1)X1=0

　　※　X^2-(X1-ω1)X+ (ω2+X1^2-ω1X1)=(X-X1)^2

この式より

　X=1/2{(X1-ω1)±(-3X1^2+2ω1X1+ω1^2-4ω2)^(1/2)}・・・①

　一本に直線に対して、交点を３個持つことになるので、接点は、重根となることが必然となります。

　よって、-3X1^2+2ω1X1+ω1^2-4ω2=0とならなければなりません。

この接点は、平行移動などによって、有理点とすることができます。もう少し有理点(ⅴ)に置いても、有理点についての考察が続きます。