円と球(ⅰ)

　円は、完璧であり、とても美しい形をしています。古代から現代に至っても、尽きる事の無い題材です。シラクサのアルキメデスがローマの兵士に｢私の円に触れるな！｣と言ったところ、腹を立てた兵士がアルキメデスを殺害してしまう話は有名です。「アルキメデスの定理」について少し考察してみたいと思います。

　最初に、全ての円周上の点は、１本の直線上に円周の点の影として置くことが可能です。しかし、直線上の点は、全ての点を、円周上に置くことができません。（この事をふまえて）

　アルキメデスの定理　(ｒは球の半径　πは円周率）

　　　球の表面積は、その外接する円柱の筒部分の表面積に等しい。　球の表面積＝４πｒ^２　　　　　です。

　重積分を使うと簡単に、答えを出すことが可能ですが、球面上の正方形を、円柱の軸から、外接する円柱の表面に射影された四角形の面積について考えてみようと思います。(この問題は、ピーター　フランクル氏の著書でも紹介されております。）　ここでは単位球（ｒ＝１の球）としてとして考えることにします。

　球面上の４点ＡＢＣＤによって作られる４角形は、正方形とします。球の中心を点Ｏとし、∠ＡＯＢ＝α　とします。点ＡＢ間の直線距離は２ｓｉｎ（α/２）であり、　大円上の点ＡＢ間の長さは　α　と成ります。

　２ｓｉｎ（α/２）／α　は　ｓｉｎ（α/２）／（α/２）と書くことができ、ｌｉｍα→0　ｓｉｎ（α/２）／（α/２）　＝　１　と成るので、正方形ＡＢＣDの面積は、α→0の時　α＾２と成ります。

　次に、円柱に射影された四角形ですが、点ＡＢＣＤの円柱への射影を点Ａ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’とします。ここで、線分ＯＢや線分ＯＣと水平面のなす角度をβとします。Ａ’Ｂ’間とＣ’Ｄ’間の長さは、ｓｉｎ（α+β）-ｓｉｎβと成ります。また、Ａ’Ｄ'間の長さは、α/ｃｏｓ（α+β）であり。　Ｂ’Ｃ’間の長さはα/ｃｏｓβとなります。　したがって、円柱状の射影四角形の面積は、α/2｛ｓｉｎ（α+β）-ｓｉｎβ｝｛1/ｃｏｓ（α+β）+1/ｃｏｓβ｝　となります。　この式をα＾２で割ると、1/2｛ｓｉｎ（α+β）-ｓｉｎβ｝／α｛1/ｃｏｓ（α+β）+1/ｃｏｓβ｝となります。

　ここで、ｌｉｍα→0｛ｓｉｎ（α+β）-ｓｉｎβ｝／α＝ｃｏｓβですから。　α→０では、1/2｛ｓｉｎ（α+β）-ｓｉｎβ｝／α｛1/ｃｏｓ（α+β）+1/ｃｏｓβ｝＝１となります。

　綺麗に説明できるところが、数学の良さだと思います。紀元前の人が、これを考え出したのですから大変のものだと思います。（個人的には紙をちぎって球に張り付けて説明した方が、良いのではと思いますが、実際に紙を切って貼り付けると、この通りにはゆきません。）　結構アルキメデス氏も、そんなところが少なからず有るようです。数式は単純なほど美しい様ですが。ひらめきから数式を得るためには、こぼれた豆の数を数えるような作業を強いられる事も、有るかもしれません。労を惜しまないからこそ、美しい式が出来るのかも知れません。