藍上雄のガラクタ箱

数列

　1843年,ジャック・フィリップ・マリー・ビネ(Jacques Philippe Marie Binet)　フランスの天文学者（又は数学者）？によって発表された、「数列」を現す公式についてです。

　P・Qは0ではない整数　X^2-PX+Qなる２時多項式についての解は、X=（P±√（Ｐ＾2-4Ｄ））／２となります。判別式ＤをＤ＝Ｐ^2−４Ｑ≠０　としたとき、α=(P+√D)/2 β=(P-√D)/2 となります。ここでα+β=P・αβ=Q・α-β=√Dとなる関係が成立しています。Ｗ０＝０（or ２） Ｗ1＝１ (or P)　Ｗｎ＝ＰＷｎ-1-ＱＷｎ-2　(ｎ≧２の時)　Ｗｎ＝（α^n-β^n)／(α-β)…�@  (or α^n+β^n…�A　�@の式の同伴数列となる。)と数列を表す事ができます。　この公式を用いて、幾種かの数列を考察してみようと思います。

　フィボナッチ(Fibonacci)数については、P=1・Q=-1で�@の式で対応しています。D=5 α=(1+√5)/2 β=(1-√5)/2 W0=0 W1=1 W2=1　W3=α^2+αβ+β^2=2 W4=α^3+α^2β+αβ^2+β^3=3・・・・

　ルーカス(Lucas)数については、P=1・Q=-1で�Aの式で対応しています。W0=2 W1=1 W2=3　W3=4 W4=7・・・・

　メルセンヌ（Mersenne)数（Mq=2^q-1)については、P=3・Q=2で�@の式で対応しています。D=1 α=(3+√1)/2 β=(3-√1)/2 W0=0 W1=1 W2=3 W3=α^2+αβ+β^2=7 W4=α^3+α^2β+αβ^2+β^3=15・・・・

　フェルマー(Fermat)数(Fq=2^q+1)については、P=3・Q=2で�Aの式で対応しています。W0=2 W1=1 W2=3　W3=4 W4=7・・・・

　ペル(Pell)数については、P=2・Q=-1で�@の式の場合。　W0=0 W1=1 W2=2　W3=5 W4=12・・・・　　　�Aの式の場合。W0=2 W1=2 W2=6　W3=14 W4=34・・・・

　この公式からいえることは、�@と�Aの式において、Ｐ・Ｑに数値が同じであれば、密接な関係を見出すことができますが、そうでないときは、特別な関係は、無い様に思えます。

　「フィボナッチ数とルーカス数」・「メルセンヌ数とフェルマー数」が互いに可換である事が示されていますが、メルセンヌ数やフェルマー数の素数性を調べる事については、的確な答えを見出すことは、難しいかもしれません。

　最後に、フェルマー数で、Fn=2^(2^n)+1の場合について、少し調べえてみようと思います。F0=3 F1=5 F2=17 F3=257 F4=65537…これらの数は素数ですが、さらに大きなnに対してもFn=2^(2^n)+1は素数となるのでしょうか？別の見方をするとM2^n=2^(2^n)-1 M2^0=1 M2^1=3 M2^2=15 M2^3=255 …　から、Fn=M2^n+2という形となります。この形を見た限りでは、Fnは大きなnに対しても素数になるとは、いえないと思います。この場合、少なくともM2^n≡∏P=3〜mP(Pは素数）という形をとらなければなりません。いかなる場合でも、この関係式が成立することは難しいと思います。

　実際に、Euler氏らの手によって、F5・F6が因数分解され合成数である事が判っております。