有理点(ⅱ)

　有理点(ⅰ)からの続きです。x^2+y^2=a・α^2=(m^2+n^2)/a の式について、a=2の場合、幸いにもmnαは奇数しか現れないようです。(偶数の場合は、約分されるので、奇数となる。）もう少し関係式を変化させて、α^2=(p+m)^2となる任意の整数pを与えて、a(p+n)^2=(m^2+n^2)となる式について考察してみることにします。a=2でn=1の場合2(0+1)^2=1+1・2(4+1)^2=7^2+1・2(28+1)^2=41^2+1・2(168+1)^2=239^2+1・2(984+1)^2=1393^2+1・n=7の場合2(-2+7)^2=1+7^2・2(6+7)^2=17^2+7^2・2(10+7)^2=23^2+7^2・2(66+7)^2=103^2+7^2・2(90+7)^2=137^2+7^2・2(196+7)^2=287^2+7^2・2(418+7)^2=601^2+7^2・・・・n=17の場合についても、2(8+17)^2=31^2+17^2・・・と同様に見つけ出せるので、x^2+y^2=2の円周上には。無限に有理点が存在するのではないかと、思われます。有理点どうしの関係が十分説明できていないので、予想でしかありません。難しい問題です。(有理点間の関係から、第三の有理点を導き出せない…。）

　x^2+y^2=5の場合の有理点について、(x.y)・(1.2)・(1/17.38/17)・(1/305.682/305)・…・(2/5.11/5)・(2/13.29/13)・(2/89.199/89)・(2/233.521/133)・…・(11/37.82/37)・(11/53.118/53)・(11/187.418/187)・…など多く見つけることが出来ます。m mod 5=1の時,m^2 mod 5=1・m mod 5=2の時,m^2mod 5=4・m mod 5=3の時,m^2 mod 5=4・m mod 5=4の時,m^2 mod5=1と成ります。割と組み合わせの種類は、多いですね。

　。x^2+y^2=7の場合の有理点について、m mod 7=1の時,m^2 mod 7=1・m mod 7=2の時,m^2 mod 7=4・m mod 7=3の時,m^2 mod 7=2・m mod 7=4の時,m^2 mod 7=2・m mod 7=5の時,m^2 mod 7=4・m mod 7=6の時,m^2 mod 7=1と成ります。a=7の場合も有理点が、多くても２個までしか持つことが出来ないようです。

　同様にしてx^2+y^2=a　a>7（aは素数）の場合についても調べることが出来ます。

　もう少し高次の場合について、x^3+y^3=z^3（一般化するとx^q+y^q=z^qフェルマーの最終定理で扱う）問題となります。xyzは本当に０以外の整数解を持たないのでしょうか？x^3+y^3=z^3の場合について、(x^2)/yz+(y^2)/xz=(z^2)/xyと書き換えてみると、yz・xz・xyが必然的に、合成数である筈なのですが、もしこの式が整数解を持つとすると、yz・xz・xyが２乗数の形と成らなければ成りません。まず第一に、挙げられる矛盾です。次にx^4+y^4=z^4ですが、この式は、(x/y/z)^2+(y/x/z)^2=(z/x/y)^2と書くことが出来ます。x/y/z+y/x/z=z/x/yの有理点はピタゴラス数です。２乗数の型を持つピタゴラス数が存在するかという問題に付いては、とても否定的な答えしか有りません。4tan^2(θ/2)+{1-tan^2(θ/2)}^2={1+tan^2(θ/2)}^2としている。2tan^2(θ/2)・1-tan^2(θ/2)・1+tan^2(θ/2)が２乗数と成らなければ成らないので、かなり無理があると思います。

　y^2=x^3の形は、有理点(ⅲ)で調べようと思います。他のケースについても、新たな事が分かったら書き記してゆきたいと思います。