無限（∞）

　　「無限」についての考察です。同じ様な言葉として「永遠」があります。英語で言うと、前者は「infinity」、後者は「eternity」です。「無限」は、文字通り「『限り』や『終わり』の無い事」　を示しています。「永遠」の方は、「ある地点から、継続的に遙かに遠へ続く様子」を示しています。注1へ

　　さて「無限」の話ですが、「無限」にも色々あって、たとえば、自然数の総和＝１+２+３+４+５+・・・・・+∞＝∞も無限ですが、奇数の総和＝１+３+５+・・・・・∞＝∞ですし、偶数の総和＝２+４+６+・・・・・+∞＝∞となります。この事から、（奇数の総和）=（自然数の総和）-（偶数の総和）この様な式が成り立つことが分かります。この事はちょっと置いといて、級数の話に移ります。級数には、収斂する物・発散する物・振動する物が有ります。収斂する物は、総和が有限と成ります。振動する級数は、値が定まりません。発散する物は総和が無限となります。ここでは発散する級数について考る事にします。ちなみに、自然数の総和も正項級数で発散する物と言う事に成ります。

　もう少し絞り込むと、ζ(s) = 1 + 1/(2^s) + 1/(3^s) + 1/(4^s) + ・・・・・なる級数で、s=1の場合の級数で、調和級数についてです。簡単言うと分母が自然数で分子が1の分数を順々に加えていった物です。「Σｎ→∞ ＝1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ・・・・1/n」を簡単に「ζn　｛ｎ→∞｝ジータ」と表すことにします。次に対数の級数展開についてです、

　　①log(1+1/n)=1/n-1/2(1/n)^2+1/3(1/n)^3-1/4(1/n)^4+・・・・・・

　　②- log(1-1/n)=1/n+1/2(1/n)^2+1/3(1/n)^3+1/4(1/n)^4+・・・・・・この２つの展開を使う事にします。

　①の式をｎについて１から順に足してゆくと「ζn - 1/2ζn(2) + 1/3ζn(3) - ζn(4) + ・・・・」と成ることが分かります。ｎ→∞の時、ζｎ以外は収斂するので、これを「Ｃeulerと表記しオイラー定数」と言います。「無限」から「無限」を引いた時の差を現しています。

　②の式についても、nに対して２から順に足してゆくと、１+Ｃ（定数）なるものが現れます。Ｃeuler＝1+Ｃなる関係と成ります。興味深いのは、②の式の対数の範囲ですが０以上１以下の範囲と成ります。０から１の範囲に無限が存在するのです。

　また、n→∞の時、ζnは（1/ｘ）を『０≦ｘ≦１』の範囲で積分した物とも等しくなります。これも、０から１の範囲に無限が存在する事になります。（この結果はCeulerについて別の方法で説いた時に付随して出てくる結果です。）

　「永遠」は外に向かって存在する気がします。また「無限」は、外側だけでなく、内に向かっても存在するのではないでしょうか。