有理点(ⅲ)

　有理点(ⅱ)からの続きです。y^2=(x+a)(x+b)(x+c)=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abcの形の式についてです。f(x)=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc・f'(x)=3x^2+2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)・f''(x)=6x+2(a+b+c)・f''((a+b+c)/3)=0・f(x-(a+b+c)/3)=(x-(a+b+c)/3)^3+(a+b+c)(x-(a+b+c)/3)^2+(ab+bc+ca)(x-(a+b+c)/3)+abc=x^3+(ab+bc+ca)x+(a^3+b^3+c^3+6abc)/9（右辺に、カルダノ公式を適用する場合、y^2=x^3+αx+βの形になります。）基本的には、平行移動によって、式が変化しているだけなので、同一の物と考えても差し支えないと思います。この曲線についての考察をしてみます。　※カルダノ公式についての説明は、高次多項式についての考察を参考にしてください。

　考察ａ：曲線y^2=x^3+αx+β上の有理点A(x1.y1)点B(x2.y2)を通る直線ABと曲線y^2=x^3+αx+βとの交点Ｃ(x3.y3)について

　　直線ABは　　　　(x1-x2)/(y1-y2)=(x2-x3)/(y2-y3)=(x3-x1)/(y3-y1) と表せることが出来るから

　　　　　　　　　　　　　y={(y1-y2)/(x1-x2)}(x-x1)+y1　という有理直線が現されます。この式を曲線y^2=x^3+αx+βに代入してみると、{(y1-y2)/(x1-x2)}^2(x^2-2xx1+x1^2)+2y1{(y1-y2)/(x1-x2)}+y1^2=x^3+αx+β最終的には、

　x^3-{(y1-y2)/(x1-x2)}^2x1^2-{α-2x1{(y1-y2)/(x1-x2)}^2+2y1{(y1-y2)/(x1-x2)}}x+β-x1{(y1-y2)/(x1-x2)}^2+2x1y1{(y1-y2)/(x1-x2)}-y1^2=0…①

x-x1

{x1-{(y1-y2)/(x1-x2)}^2}x^2-{α-2x1{(y1-y2)/(x1-x2)}^2+2y1{(y1-y2)/(x1-x2)}}x

{x1-{(y1-y2)/(x1-x2)}^2}x - {x1-{(y1-y2)/(x1-x2)}^2}x1

{x1^2-α+x1{(y1-y2)/(x1-x2)}^2-2y1{(y1-y2)/(x1-x2)}}x+β-x1{(y1-y2)/(x1-x2)}^2+2x1y1{(y1-y2)/(x1-x2)}-y1^2

{x1^2-α+x1{(y1-y2)/(x1-x2)}^2-2y1{(y1-y2)/(x1-x2)}}x-{x1^2-α+x1{(y1-y2)/(x1-x2)}^2-2y1{(y1-y2)/(x1-x2)}}x1

β-αx1+x1^3-y1^2=0

x^2+ {x1-{(y1-y2)/(x1-x2)}^2}x+ {x1^2-α+x1{(y1-y2)/(x1-x2)}^2-2y1{(y1-y2)/(x1-x2)}}

x-x2

{x1+x2-{(y1-y2)/(x1-x2)}^2}x+ {x1^2-α+x1{(y1-y2)/(x1-x2)}^2-2y1{(y1-y2)/(x1-x2)}}

{x1+x2-{(y1-y2)/(x1-x2)}^2}x-{x1+x2-{(y1-y2)/(x1-x2)}^2}x2

x1^2+x1x2+x2^2-α+(x1-x2){(y1-y2)/(x1-x2)}^2-2y1(y1-y2)/(x1-x2)=0

○ α=x1^2+x1x2+x2^2-(y1-y2)/(x1-x2)

x3=-x1-x2+{(y1-y2)/(x1-x2)}^2 となり有理点であることが分かります。

　次に直線ＡＢと同じ傾きを持つ曲線に対する接線の接点Ｄ(x4.y4)についてです。

　接線の傾き　　(x1-x2)/(y1-y2)=(3x4^2-α)/(2y4) 2y4(x1-x2)=(3x4^2-α)(y1-y2)

x4^2=1/3{ 2y4(x1-x2)/(y1-y2)+α} この接点が有理点となる可能性は低いと思います。

有理点(ⅳ)以降でも、まだもう少し、さまざまな考察が続く予定です。