縄跳びの縄（後）

　縄跳びの縄（前）からの続きです。長さＬのロープを、点Ａ（-a.0)と点Ｂ（a.0)の間で回転させることを考えます。回転のエネルギーは、支持点間の直線とロープで描かれる曲線に蓄えられるので、この面積を最大にする曲線が求める曲線であると考えます。突き詰めて考えてゆくと、長さが2aπの縄を、点Ａ（-a.0)と点Ｂ（a.0)の間で回転させるときれいな球を描く事になるはずですが、球と成らない場合は、まだエネルギーが入り込む余地があるからではないかと考えます。

　考えられる曲線として、①放物線（２次曲線）・②楕円・③測地線が挙げられます。その一つ一つについて、吟味してみようと思います。

　①放物線（２次曲線）：y=bx^2-ba^2 この関数は点Ａ（-a.0)と点Ｂ（a.0)の２点間を通る事になります。y'=2bxで、Ｌ＝2summax=0～x=a1+(2bx)^2dx = [2{x+2/3b^2x^3 }] = 2a+4/3b^2a^3 この時の面積Ｄ1は、Ｄ1=2summax=0～x=a(bx^2-ba^2)dx=[1/3bx^3-bxa^2]=1/3ba^3-ba^3と成ります。Ｄ1/L=(1/3ba^3-ba^3)/(2a+4/3b^2a^3)=(-ba^2)/(3+2b^2a^2)と成ります。dＤ1/db=1/3a^3-a^3またdL/db=8/3ba^3なので、dＤ1/dL=-1/(4b) bが０に近づく事は、単に直線に近づく事であり。面積も０に成るだけの事です。

　②楕円：(y/c)^2+x^2=a^2　という楕円が考えられます。y=c(a^2-x^2)^(1/2) : z=a^2-x^2 dz/dx=-2x ：dy/dz・dz/dx=1/2c(z)^(-1/2)2x : dy/dx=cx(a^2-x^2 )^(-1/2) Ｌ＝2summax=0～x=a{1+(cx)^2/(a^2-x^2 ))}^(1/2)dx = 2summax=0～x=a{(a^2+(c^2-1)x^2)/(a^2-x^2 ))}^(1/2)dx　ここで、g(x)=(a^2+(c^2-1)x^2)^(1/2) ・ h(x)=1/(a^2-x^2 )^(1/2) 置きます。Ｌ＝2summax=0～x=ag(x)h(x) dx として、２つの関数の積としてあつかうには複雑になりすぎるので、極座標を用いて考える事にします。(y/ca)^2+(x/a)^2=1：x=a cosθ y=ac sinθ:0≦θ≦π/2：dx/dθ= a sinθ dy/dθ= ac cosθ L=2a summaθ=0～θ=π/2（(sinθ)^2+(c cosθ)^2)^(1/2)dθ　L/(2a)=summaθ=0～θ=π/2（1-(1-c^2) (cosθ)^2)^(1/2)dθ ：q^2=(1-c^2)　と置き|cosθ|≦1かつqが|q|<1であれば、L/(2a)=summaθ=0～θ=π/2（1-(q cosθ)^2)^(1/2)dθ=summaθ=0～θ=π/2（1-1/2(q cosθ)^2-1/(2・4)(q cosθ)^4-1/(2・8)(q cosθ)^6-…）dθと二項展開する事が出来その項別に積分を行う事にします。L/(2a)=summaθ=0～θ=π/2（1-1/2 q^2 (1-cos2θ)/2 - 1/(2・4)q^4・ 1/8((2-4cos2θ+1-cos4θ)-1/8・q^6・1/8(1-3cosθ+3/4(1-cos2θ)-1/4(cosθ-cosθcos2θ))…dθ=[π/2-π/8 q^2-3π/64 q^4-π/256 q^6(4-12+3-1)]+summaθ=0～θ=π/2（cosθcos2θ)…dこのように成ります。（この数式の後半の方はもう一度吟味する必要がありますが、後半の値は小さなものでそれほど大きな影響はないものと考えます。次にこの楕円の面積についてです。：(y/c)^2+x^2=a^2 ：y=c(a^2-x^2)^(1/2)　x=a sinθ とする(これは便宜上に置きかえる為ものです。）、この面積Ｄ2=2a^2csummaθ=0～θ=π/2((1-(sinθ)^2)^(1/2)cosθdθ=2a^2c summaθ=0～θ=π/2(cosθ)^2dθ=a^2c summaθ=0～θ=π/21+cos2θ dθ=[θ+1/2sin2θ]=1/2πa^2cと成ります。Ｄ2/L=(πac)/4(π/2-π/8 q^2-3π/64 q^4…) ちなみにＤ2/Lのとりうる最大値は c=1の時で　a/2と成ります。dＤ2/dc=1/2πa^2また、dL/dc=π/4 c+3π/16 (c-c^3)…なので、dＤ2/dL=8a^2/(7c-3c^3)…)cが０に近づく事は、単に直線に近づく事であり。面積も０に成るだけの事です。

　③測地線：このケースはr≧a場合に限られます。半径ｒの円を、長さ2aの直線で切り取られた、長さＬの弦について考えます。L=rarcsin(a/r) この弓形の面積Ｄ3は、D3=1/2arcsin(a/r) r^2-a(r^2-a^2)^(1/2)と成ります。Ｄ3/L=(1/2arcsin(a/r) r^2-a(r^2-a^2)^(1/2))/(r arcsin(a/r))=(arcsin(a/r) r^2-a(r^2-a^2)^(1/2))/(2r arcsin(a/r)) ちなみにＤ3/Lのとりうる最大値は a/2と成ります。　dＤ3/dr=2r arcsin(a/r) またdL/dr=a/(r^2(1-(a/r)^2)/(1/2))+arcsin(a/r) なので、dＤ3/dL=2rarcsin(a/r)/(a/((r^2(1-(a/r)^2)/(1/2))+arcsin(a/r) ) この式の分子はrが∞に近づくに連れ変化値が少なくなってきています。

　こう考えてみると、①の場合よりも、完全な半円を作れる②③の場合の方が、有利だと思います。Ｄ2/Ｄ3について考えてみたいと思います。Ｄ2/Ｄ3=(πa^2c)/(arcsin(a/r) r^2-2a(r^2-a^2)^(1/2)) ：(dＤ2/dc)/(dＤ3/dr)=(πa^2)/(2r arcsin(a/r)です。この式を見る限りにおいては②の場合が、安定していると思われます。

　追記：途中式に不備があるかもしれません、気がついた時点で訂正させて頂く事として、取り合えずこれにて失礼させていただきます。