補間（前）

　補間という言葉が有ります。文字通り、「間を補う」事を、示しております。現在コンピュータの世界では、重要な位置を示しています。

　有名なのが、ラグランジュの補間関数です。ジョセフ・ルイ・ラグランジュは、１８世紀後半から１９世紀初めにかけて活躍したフランスの数学者です。 δj（ｘ）＝∏i=1～n（ｘ-ξi)／∏i=1～n（ξj－ξi)　　（※ラグランジュの補間係数）　　節点ξiを、ｎ個用意した時、δj（ｘ）も同じ個数が必要となります。全体的な補完曲線は、δj（ｘ）の和として現されます。ちなみにｘ＝ξjの時δj（ｘ）=１であり、ξj＝ξiの時、欠点として扱われるので、高精度の補間には不向きだと思います。節点の数もあまり多くするとルンゲ現象が起こり易くなってしまいます。４個ぐらいの節点が限度だと思います。　　　※ルンゲ（Ｒｕｎｇｅ）現象：単一多項式を用いて補間した時に、振動の大きくなる補間曲線となる現象

　ここからスプライン関数（Spline fanction)の概要についてです。

　接点ξi（xi,yi)｛i=1・2・3・・・n｝を、Ｓｊ（ｘ）｛j=1・2・3・・・n｝なるm次の多項式で、つなぐ事を考えます。ｎ個の節点を通る曲線ｙ（ｘ）＝Σｊ＝1～ｎＳｊ（ｘ）を考えると、　m=0の時、ｙ（ｘ）は階段グラフと成り、m=1ではＳｊ（ｘ）は折れ線グラフと成ります。これではとても曲線とは言えません。　さて「n個の節点を最短距離で結ぶ曲線」とは、どんな曲線でしょうか？Ｓｉを接点ξiとξi+1間の曲線の長さとすると、曲線ｙ（ｘ）の長さはＬ＝Σｉ＝1～ｎ-1Ｓｉと表されます。ここからは、Ｓiの長さを求めるてみます。まず近似的に、Ｓi≒√｛(xi+1-xi)^2+(yi+1-yi)^2}　Si=Summa xi～xi+1(⊿Ｓｉ/⊿xi) dx と表されます。　⊿Ｓｉ＝√｛⊿ｘ＾２+⊿ｙ＾２｝　⊿Ｓｉ/⊿ｘ＝√｛１+（⊿ｙ/⊿ｘ）^2} 　（⊿ｘ＾２→０の時、ｄＳｉ/ｄｘ=√｛1+(ｙ')^2｝・・・①　となります。）　したがって　Ｌ＝Σi=1～n-1Ｓｕｍｍａxi～xi+1　√｛１+（⊿ｙ/⊿ｘ）^2}　ｄｘ　と表されます。

　接点ξi（xi,yi)の曲線y(x)の傾きは、y'(xi)=tan(θ）と成ります。・接点ξi（xi+1,yi+1)の曲線y(x)の傾きを、y'(xi+1)=tan(θ+⊿θ）とする時、y''={y'(xi+⊿x)-y'(xi)}/⊿x ={tan(θ+⊿θ）-tan(θ)}/⊿x　⊿ｘ→０とすると　（ｄｘ/ｄθ）ｙ''＝（１/cosθ）'sinθ+（１/cosθ）sin'θ=1+（tanθ）^2=1+y'' と成るので、　dθ/ｄｘ＝{1/（1+ｙ'^2)}y''ここで①の式を用いて

　ｌｉｍ⊿Ｓｉ→０ｄθ／⊿Ｓｉ＝（ｄθ/dx)／(⊿Ｓｉ/dx)＝｛y''/(1+y'^2)｝／√（1+ｙ'^2)＝ｙ''／（1+ｙ'^2)^(3/2) と曲率が表されます。

　曲率の合計をεとする時。　ε＝Σi=1～n-1Summa y''/(1+y'^2)^(3/2) dx と成るので、要するに　ε'=Σi=1～n-1Summa y''~2 dx を最小にする関数ｙ（ｘ）が、「n個の節点を最短距離で結ぶ曲線」と成るはずです。少なくとも関数ｙ（ｘ）を２回以上微分出来なけばならないので、最低でも３次の多項式による関数が必要になります。

　補間（後）では、もう少し、具体的な話になります。