スウガクとくガウス
ラングレーの問題って？

　<Langley's Adventitious Angles>

　　下の図の「ラングレーの問題：
∠A＝２０°、AB=ACの二等辺三角形
において、∠DBE=20°∠ECD=３０°
　　　のときに∠DEBの大きさはいくら？」
ラングレーの問題と整角四角形の画像
　　という問題は１９２０年ごろに、E.M.ラングレーが
正１８角形の研究中に作られた問題だそう
　　です。ここでは、四角形DBCEを右端図のように改め
て四角形ABCDとして∠ADBはいくら？～という形
で整角四角形と呼ばれる形式で考えていきます。
整角四角形
　角度を求める問題だから簡単とは限りません。
上の問題では∠ＡＤＢと∠ＤＡＣ以外は下図の
　　ように決まりますが、
整角四角形の自明な角度の画像
　　この∠ＡＤＢと∠ＤＡＣを求める
　　ためには、なんらかの補助線を
　　引かないと解決しません。
　　このような整数の角度が与えら
　　れる四角形の問題
　　を「整角四角形の問題」といい、
　　逆に整角四角形の問題を単に
　　「ラングレーの問題」という向きも
　　あります。しかし答えの
　　∠ＡＤＢの値が整数であるとは限
　　りません。ちなみにそのラングレー
　　の問題の解答。「整角四角形」と
　　名づけられたのは、清宮俊雄先生
　　です。また、安田亨共著「なっとく
　　の高校数学」よれば、「ラングレー
　　の問題」を「フランクリンの凧」とい
　　っていた頃がありました。これは、
　　山本矩一郎先生のアイデアだ
　　そうです。
整角四角形の問題形式

　　右の四角形ABCDにおいて
　　∠ABD = ａ 　 ∠DBC = ｂ　
　　∠ACB = ｃ 　 ∠DCA = ｄ
　　が与えられたとき、
　　∠ADB は何度ですか？
　　というような問題です。

　　それぞれの問題は対角線の
　　交点は点Ｅとし、
　　（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）　の形で
　　与えられ、　左右裏返しから、
　　ａ≦ｄ　とします。
　　上のラングレーの問題は
　　（２０，６０、５０、３０）
　　となります。

　　問題（２０，６０、５０、３０）の答え
　　はX=３０ですが、　問題（２０．６０．
　　５０，４０）となると、その答えは
　　X=１７．９…°となり、関数電卓で
　　逆三角関数を使わないとムリです。


　カシオ「ラングレーの問題」の計算サイト
（a,ｂ,ｃ,ｄ）の4つの角度を入力して、
計算で結果のみ∠ＡＤＢがわかる外部
サイトを活用してみて下さい。
 ラングレーの問題　トピックス
 　整角四角形の解きやすい問題を上から順
　　に並べています。
　　それぞれの問題をクリックして解いてみてく
　　ださい。よく「ラングレーの問題」とよばれる
　　問題は、↓の問題L１１（２０，６０，５０，３０）
　　になります。

　　【使う道具】

　　１　　三角形の合同

　　２　　たこ型（底辺の等しい二等辺三角形
　　　　　を２つあわせたもの）

　　３　　同一円周上（円周角が等しい、対角
　　　　　の和が１８０°）

　　４　　外心、内心、傍心

　　５　　正三角形、二等辺三角形と、その対
　　　　　称性

　　６　　三角形を折り返す

　　７　　等脚台形、平行四辺形の性質

　　これら以外には角の二等分線などの比の
　　移動、中点連結定理や正十八角形…等
　　が考えられます。
　　１０°単位の全ての整角四角形（ラングレ
　　ーの問題）は下にあります。初めて解く問
　　題は定規と分度器を使って問題の図をき
　　れいに書くことをお勧めします。
　
 問題番号  整角四角形のトピックス
L 1 問題（３０，５０，４０，４０）
L２ 問題（４０，４０，２０，３０）
L３ 問題（３０，５０，４０，３０）
L４ 問題（２０，２０，１００，３０）
知識１ 外心について
L５ 問題（３０、２０、５０、７０）
L６ 問題（２０、３０、３０、４０）
知識２ 内心について
L７ 問題（２０、２０、４０、４０）
L８ 問題（３０、３０、４０、７０）
知識３ 傍心について
L９ 問題（１０、２０、１００、４０）
Ｌ１０ 問題（２０、２０、３０、５０）
Ｌ１１ 問題（２０、６０、５０、３０）
Ｌ１２ 問題（３０、４０、４０、８０）
知識４ 外心についての定理
L１３ 問題（２０、４０、７０、４０）
L１４ 問題（２０、４０、４０、３０）
L１５ 問題（３０、４０、３０、５０）
L１６ 問題（３０、５０、７０、４０）
L１７ 問題（２０、６０、３０、５０）
L１８ 問題（４０、３０、３０、７０）
L１９ 問題（１０、７０、５０、３０）
L２０ 問題（１００、３０、２０、１２０）
ラングレーの全問題（１０度単位）
 （解きやすいほうの問題）

 ①　［たこ形］
　
　　（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）において、
　　ｂ＋ｃ＝９０　，ｃ＝ｄ、　
　　ならば、四角形ABCDは
　　「たこ形」になり、
　　　　　　X＝ａ　となります。
　　また、　ｂ＋ｃ＝９０　，ａ＝ｂ
　　のときも「たこ形」で、
　　このときはX＝９０－ｄ　となる。
　　右の図ではＸ＝２０°

 ②　[円に内接する]

　　　　ａ＝ｄ　ならば、
　　　　四角形ABCDは、「円に内接
　　　　する四角形」で
　　　　　　　　Ｘ＝ｃ　となります。
　　　　上の問題では　Ｘ＝４０°
　　

 ③　[外心１]

　　　　ＡＢ＝ＡＣ　の
　　　二等辺三角形　ＡＢＣ　と
　　　∠ＢＡＣ＝２∠ＢＤＣ　を満た
　　　せば、点Ａは△ＢＣＤの外心
　　　　　　　ａ＋ｂ＝ｃ，
　　　　　　　ｂ＋ｄ＝９０　ならば、
　　　　　　　Ｘ＝ａとなります。
　　　上の問題では、Ｘ＝３０°

 ④　[外心２]

　　　△ＡＢＣ　と　△ＢＣＤ　から、
　　　ＡＣ＝ＢＣ，ＢＣ＝ＣＤ　
　　　を満たすと、点Ｃは
　　　　　△ＡＢＤ　の外心
　　　　ｃ＋２ａ＋２ｂ＝１８０
　　　　ｃ＋ｄ＋２ｂ＝１８０　ならば
　　　　　　　　Ｘ＝ｃ／２　
　　　上の問題では、
　　　　　　Ｘ＝８０／２＝４０°

⑤　[傍心１]
 
　　　　ＢＤが∠ＡＢＣの二等分線、
　　　　ＣＤは∠ＡＣＢの外角の
　　　　二等分線であれば、
　　　　点Ｄは△ＡＢＣ　の傍心
　　　　　　　　 　ａ＝ｂ　
　　　　　　ｃ＋２ｄ＝１８０　ならば
　　　　　　　　Ｘ＝ｃ／２
　　　上の問題では、
　　　　　　　　Ｘ＝８０／２＝４０°
　　　傍心については上の
　　　トピックスの「傍心」を参照

⑥　[傍心２]
 
　　　ＢＣが△ＡＣＤの∠ＡＣＤの
　　　外角の二等分線になって
　　　∠ＡＣＤ＝２∠ＡＢＤであれば
　　　　点Ｂは　△ＡＣＤ　の傍心
　　　　　２ｃ＋ｄ＝１８０
　　　　　　　 ＝２ａ　ならば
　　　　　Ｘ＝９０－ａ－ｂ
　　　　上の問題では、
　　　　　　Ｘ＝９０ー２０－３０＝４０
 ラングレーの全問題（１０度単位）

 それぞれの問題は（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）　
　　ａ≦ｄ　で与えられて、
対角線の交点はＥとします。
ラングレーの問題、整角四角形の記号
上の「解きやすいほうの問題」①～⑥にあたる問題は省略し、　解き方についてはそれがベストかどうかはわかりませんが概略　で書いています（字数制限のため）。

　トピックスの中にある「L△番と同様」とあるのは
　問題（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）を△番に適用しますが適用で
　きないときは問題を（ｄ，ｃ，ｂ，ａ)で適用してみ
　てください。
　また、「Lの～番」はこのページの上の
　トピックスにある問題と同様に解けます。

　当方での問題（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）の「類題」や「同様に解ける」は次のように調べています→「ラングレーの類題」←タップ
問題番号
（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）
　　　　　　　答え		 一つの解き方
　１
（１０，１０，３０，４０）
　　　　　　　　　２０		 BAのAの延長に∠ACF=３０となるFをとると点Eは△FBCの内心、四角形FBCDは円に内接、正三角形FED…
２
（１０，１０，３０，１１０）
　　　　　　　　　　　１０		 △ABCの外心Fをとる。F,C,Dは同一直線上にあることをいう。点Aは△BFDの外心になる
３，
（１０，１０，４０，３０）
　　　　　　　　　　　３０		 BD間に∠BAF＝２０となる点Fをとると、四角形AFCDは円に内接。△ABFをBFで折り返しA→Gとすると△AFGは正三角形
４
（１０，１０，４０，１１０）
　　　　　　　　　　　１０		 AからBDに垂線を下ろしDCの交点をF、BC間に∠BAG＝２０となるGをとる。Gは△ABFの外心四角形ABFDはタコ形。
５
（１０，１０，５０，５０）
　　　　　　　　　　３０		 トピックスの問題Ｌ７と同様
６
（１０，１０，５０，８０）
　　　　　　　　　　　２０		 ∠BDCの二等分線とBCの交点をF、Fは△ECDの傍心で△ABE≡△FBEで四角形ABFDはタコ形。
７
（１０，１０，６０，４０）
　　　　　　　　　　４０		 BAとCDの交点をF∠DCBの二等分線とBA,BDの交点をG,Hとする。Hは△FBCの内心、四角形FGHD,AGCDは円に内接。
８
（１０，１０，６０，８０）
　　　　　　　　　　２０		 BAとCDの交点をF、△AFCの内部に正三角形ACG、BD間に∠BCH=２０となるH、３つの合同な三角形よりAC=CDが…
９
（１０，１０，１００，３０）
　　　　　　　　　　　７０		 BD間に∠BAG=２０となるG,BC間に∠BAF＝４０となるFをとる。Gは△ABFの内心。タコ形ABFC、円に内接するAGCD…
１０
（１０，１０，１００，５０）
　　　　　　　　　　　３０		 BD間に∠BAG=２０、∠BAH=４０となるG,Hをとり、AHとBCの交点をFとする。Gは△ABFの内心、円に内接するAHCD…
１１
（１０，１０，１１０，３０）
　　　　　　　　　　　７０		 トピックスの問題Ｌ４と同様
１２
（１０，１０，１１０，４０）
　　　　　　　　　　　４０		 △BCDをBDで折り返しC→Fとする。CAのAの延長上に∠CDG＝１００となるGをとる。正三角形FGD、FAはその対称軸
１３
（１０，１０，１２０，２０）
　　　　　　　　　　１００		 △BCDをBDで折り返してC→Fとする。正三角形FCDと二等辺三角形FCAで解決。
１４
（１０，１０，１２０，４０）
　　　　　　　　　　　２０		 BC=CD、AB間に∠BCF=２０のFをとる、BF=FC=CA、△BFCを辺CDに、Aの反対側に貼り付け、F→G、Gは△ACDの外心
１５
（１０，１０，１３０，２０）
　　　　　　　　　　１００		 AB間に∠DCF=３０となるFをとると、点Dは△FBCの傍心で∠CFD=７０、Eは△FCDの外心、Dは△AFEの外心
１６
（１０，１０，１３０，３０）
　　　　　　　　　　　３０		 △ABCの外心Fをつくる。∠CFA=４０、FC=CDより△FCDは底角４０の二等辺三角形からF,A,Dは同一直線上
１７
（１０，２０，２０，４０）
　　　　　　　　　　１０		 BAのAの延長上に∠BCG=８０となるGをとる。Eは△GBCの外心。GDは正三角形GECの対称軸、四角形AEDGは円に内接。
１８
（１０，２０，４０，２０）
　　　　　　　　　　３０		 △ABCをBCで折り返しA→Fとする。四角形ABFEは円に内接。BCとFEの交点をG。四角形EGCDは円に内接。AG=GD…
１９
（１０，２０，４０，４０）
　　　　　　　　　　２０		 BD=BC,BDを一辺とする正三角形BDFをAとは反対側に作る。等脚台形ABFCから、△ABD≡△FDC
２０
（１０，２０，４０，８０）
　　　　　　　　　　１０		 △ABCの外心Fを作る。四角形BFCDは等脚台形から、△AFB≡△ACDから、AB=AD
２１
（１０，２０，５０，３０）
　　　　　　　　　　３０		 △ABCをBCで折り返す。A→Fとする。四角形DBFCは円に内接し、△FBD、△FADは二等辺三角形。
２２
（１０，２０，５０，５０）
　　　　　　　　　　２０		 △ＡＢＣの外心をＦ。ＡＢ間に∠ＢＦＨ＝４０のＨをとり、ＡＦとＢＤの交点Ｇ。Ｈは△ＧＢＦの外心△ＡＨＦ≡△ＣＧＦ、ＡＧＣＤは…
２３
（１０，２０，５０，８０）
　　　　　　　　　　１０		 △ABCをBCについて折り返す。A→Fとする。D,C,Fは同一直線上にあり、点Aは△DBFの外心になっている。
２４
（１０，２０，７０，３０）
　　　　　　　　　　４０		 △ABCの外心Fをとり、BFとACの交点をG、AFとBDの交点をH、等脚台形HFCG、円に内接する四角形AHCDで解決
２５
（１０，２０，７０，４０）
　　　　　　　　　　３０		 △ABCの外心FをとりBFとACの交点をG、AFとBDの交点をH、等脚台形HFCGとタコ形AHCDで解決。
２６
（１０，２０，８０，４０）
　　　　　　　　　　３０		 △ＡＢＣの外心ＦはＢＤ上にある。ＦＣ＝ＣＤ、点Ｃは△ＡＦＤの外心になっている。
２７
（１０，２０，８０，５０）
　　　　　　　　　　２０		 △ＡＢＣの外心ＦはＢＤ上にある。△ＡＦＣ派生三角形で点Ａは△ＤＦＣの外心になっている。
２８
（１０，２０，１００，２０）
　　　　　　　　　　　７０		 ＢＤ間に∠ＢＡＦ＝１０となるＦをとり、△ＡＢＣの外心をＧ、△ＧＢＡ≡△ＦＢＡ、円に内接する四角形ＡＦＣＤより解決
２９
（１０，２０，１００，３０）
　　　　　　　　　　　４０		 正三角形ＦＢＣをＡ側に作ると、ＡＢはその対称軸、∠ＣＦＡ＝４０、△ＤＢＣの外心ＦよりＦ，Ａ，Ｄは同一直線上
３０
（１０，２０，１００，４０）
　　　　　　　　　　　２０		 トピックスの問題Ｌ９
３１
（１０，２０，１１０，２０）
　　　　　　　　　　７０		 △ＡＢＣをＡＢで折り返す。Ｃ→Ｆとする。Ｆは△ＤＢＣの外心、タコ形ＡＦＢＣと、円に内接する四角形ＡＦＢＤで解決。
３２
（１０、２０、１１０、３０）
　　　　　　　　　　　３０		 △ＡＢＣをＡＢで折り返し、Ｃ→Ｆとする。タコ形ＡＦＢＣより∠ＡＦＣ＝５０、△ＦＢＤの外心Ｃから、Ｆ，Ａ，Ｄは同一直線上。
３３
（１０，２０，１１０，４０）
　　　　　　　　　　　１０		 △ＤＢＣの外心Ｆ、△ＡＢＣの外心Ｇを作る。タコ形ＦＧＣＡよりＡＦは正三角形ＦＢＤの対称軸になる。ＡＢ＝ＡＤ
３４
（１０，２０，１３０，２０）
　　　　　　　　　　　３０		 △ＢＣＤの外心Ｆを作る。∠ＢＦＣ＝∠ＢＡＣから円に内接する四角形ＦＢＣＡ。ＡＤは正三角形ＦＢＤの対称軸。
３５
（１０，３０，２０，３０）
　　　　　　　　　　１０		 △ＤＢＣの外心Ｆをとし、ＢＦとＡＣの交点をＧ、ＡＧは正三角形ＤＦＣの対称軸から、∠ＡＧＢ＝∠ＡＧＤ、四角形ＡＢＧＤは…
３６
（１０，３０，３０，２０）
　　　　　　　　　　２０		 ＡＣのＣの延長に∠ＤＦＡ＝１０となるＦをとり、△ＤＢＣの外心Ｇをとる。Ｂ，Ｇ，Ｆが同一直線上をいう、四角形ＡＢＦＤは…
３７
（１０，３０，３０，５０）
　　　　　　　　　　１０		 トピックスの問題Ｌ６と同様
３８
（１０，３０，４０，３０）
　　　　　　　　　　２０		 △ＢＣＤをＢＣで折り返し、Ｄ→Ｆとする。四角形ＡＢＦＣは円に内接する。△ＡＢＦ△ＡＤＦは二等辺三角形…
３９
（１０，３０，６０，２０）
　　　　　　　　　　４０		 △ＤＢＣの外心Ｆとし、ＢＦとＡＣの交点をＨとする。四角形ＡＢＨＤはタコ形。ＤＨは正三角形ＤＦＣの対称軸
４０
（１０，３０，６０，４０）
　　　　　　　　　　２０		 △ＢＣＤをＢＤで折り返すＣ→Ｆとする。ＢＡとＦＤの交点をＧ。ＦＢＣＧは円に内接。四角形ＧＡＣＤはタコ形をいう。
４１
（１０，３０，７０，３０）
　　　　　　　　　　３０		 Ｃと反対側に正三角形ＡＢＦを作りＦＣとＢＤの交点をＨとする。Ｂは△ＡＦＣの、Ｆは△ＡＢＨの外心、四角形ＡＨＣＤは…
４２
（１０，３０，７０，４０）
　　　　　　　　　　２０		 △ＥＢＣの外心Ｆとし、ＥＤ＝ＥＦ＝ＢＦ、△ＥＦＤ≡△ＦＢＣから、ＡＢ＝ＦＤ、平行四辺形ＡＢＦＤとなる。
４３
（１０，３０，８０，３０）
　　　　　　　　　　３０		 △ＤＢＣの外心Ｆ、ＡＣは正三角形ＤＦＣの対称軸でＡＦ＝ＡＤ、タコ形でＦＡ＝ＡＧより、Ａは△ＦＤＧの外心、∠ＦＤＧ＝２０…
４４
（１０，３０，８０，５０）
　　　　　　　　　　１０		 ＡからＣＤに垂線を下ろしＢＣの交点をＦ。ＡＢ＝ＢＣ、ＡＣ＝ＣＦ、Ｄの反対側に正三角形ＡＦＧを作る。Ａは△ＢＧＤの外心
４５
（１０，３０，１００，３０）
　　　　　　　　　　　２０		 △ＤＢＣの外心Ｆ。ＡＣは正三角形ＦＣＤの対称軸。円に内接する四角形ＡＦＢＣより、∠ＡＦＣ＝∠ＡＤＣ＝４０
４６
（１０，３０，１１０，２０）
　　　　　　　　　　　４０		 △ＢＣＤをＢＤで折り返し、Ｃ→Ｆとする。Ｆは△ＡＢＣの外心。∠ＦＡＢ＝∠ＦＤＢから円に内接する四角形ＡＦＢＤ
４７
（１０，３０，１１０，３０）
　　　　　　　　　　　１０		 △ＡＢＣの外心Ｆを作る。∠ＡＦＣ＝８０。タコ形ＦＢＣＤから、∠ＣＦＤ＝８０から、Ｆ，Ａ，Ｄ，は同一直線上
４８
（１０，３０，１２０，２０）
　　　　　　　　　　　２０		 △ＢＣＤの外心Ｆ、∠ＢＦＣ＝∠ＢＡＣから、ＡＦＢＣは円に内接。ＡＦ＝ＡＣから、ＡＤは正三角形ＤＦＣの対称軸
４９
（１０，４０，３０，４０）
　　　　　　　　　　１０		 ＢＤ＝ＢＣ、正三角形ＦＢＣをＤ側に作る、ＣＡはその対称軸。△ＥＢＡ≡△ＤＢＡより、∠ＡＥＢ＝１０
５０
（１０，４０，５０，２０）
　　　　　　　　　　３０		 ＡＢ＝ＡＣ、正三角形ＦＢＣをＤ側に作ると、ＡＦはその対称軸。ＢＣ＝ＢＤ、△ＡＦＢ≡△ＡＤＢ
５１
（１０，４０，５０，３０）
　　　　　　　　　　２０		 正三角形ＡＣＦをＤ側に作る。ＣＤはその対称軸でＡＤ＝ＤＦ。ＡＣとＢＦの交点をＧ、タコ形ＤＡＢＧからＡＤ＝ＤＧ、Ｄは外心…
５２
（１０，４０，８０，３０）
　　　　　　　　　　２０		 △ＡＣＤをＡＣで折り返しＤ→Ｆとする。∠ＢＡＣ＝∠ＢＦＣよりＦＢＣＡは円に内接、∠ＡＦＣ＝∠ＡＢＣ
５３
（１０，４０，８０，４０）
　　　　　　　　　　１０		 正三角形ＡＣＦをＤ側に作る。ＢＤ〃ＣＥ。∠ＦＢＣ＝∠ＢＦＣ＝∠ＤＢＦから、等脚台形ＤＢＣＦ…ＡＢ＝ＡＤ
５４
（１０，４０，１００，２０）
　　　　　　　　　　　３０		 ＤＢ間に∠ＢＡＦ＝１０のＦをとると等脚台形ＡＦＣＤ。△ＡＢＣの外心Ｇ。△ＧＢＡ≡△ＦＢＡでＢＦ＝ＢＣ
５５
（１０，７０，４０，３０）
　　　　　　　　　　１０		 ＤＢ＝ＤＣ、Ｂ側に正三角形ＤＣＦを作る。ＢＡとＦＤの交点をＧとする。△ＤＢＧ≡△ＦＣＢ、ＢＧ＝ＢＣ、ＧＤＣＡは円に内接。
５６
（１０，７０，５０，２０、）
　　　　　　　　　　２０		 ＢＣ＝ＣＤ、Ａ側に正三角形ＣＤＦを作る。△ＡＢＣ≡△ＡＦＣ≡△ＡＦＤ
５７
（１０，７０，５０，３０）
　　　　　　　　　　１０		 トピックスの問題Ｌ１９
５８
（１０，７０，６０，２０）
　　　　　　　　　　２０		 △ＢＤＣの外心をＦはＡＣ上、△ＡＢＣの内心Ｇ、ＧＣは正三角形ＦＢＣの対称軸でＤ，Ｆ，Ｇは同一直線上、ＡＧＣＤは円に…
５９
（１０，１００，３０，２０）
　　　　　　　　　　　１０		 △ＤＢＣの外心Ｆ。ＡＣは正三角形ＦＢＣの対称軸。△ＡＢＦ≡△ＡＦＤ
６０
（１０，１００，４０，２０）
　　　　　　　　　　　１０		 △ＡＢＣの外心Ｆをとると、Ｂは△ＦＥＣの外心∠ＦＥＣ＝∠ＦＢＣ／２＝３０、∠ＦＡＥ＝∠ＦＤＥで四角形ＤＡＥＦは円に内接
６１
（２０，１０，２０，１２０）
　　　　　　　　　　　１０		 △ＢＤＣの外心Ｆを作る。ＡＢは正三角形ＦＢＣの対称軸。∠ＡＦＤ＋∠ＡＣＤ＝１８０でＦＡＣＤは円に内接する。
６２
（２０，１０，４０，６０）
　　　　　　　　　　３０		 問題２１番と同様
６３
（２０，１０，４０，１００）
　　　　　　　　　　２０		 問題２３番と同様
６４
（２０，１０，４０，１２０）
　　　　　　　　　　　１０		 ＢＣ＝ＣＤ、Ａ側に正三角形ＢＣＦを作るとＣは△ＦＢＤの外心。ＡＢは△ＢＣＦの対称軸。四角形ＦＡＣＤは円に内接。
６５
（２０，１０，５０，５０）
　　　　　　　　　　４０		 △ＡＢＣの外心Ｆ。ＢＤ〃ＦＣ。ＦよりＡＢに垂線を下ろし、ＢＤの交点Ｇ。∠ＧＦＣ＝∠ＦＣＤで等脚台形。△ＡＦＧ≡△ＡＣＤ
６６
（２０，１０，５０，８０）
　　　　　　　　　　３０		 △ＢＣＤの外心Ｆとする。△ＢＦＡ≡△ＦＤＣ。△ＦＣＤの中に正三角形ＣＤＧを作る。△ＧＣＦ≡△ＡＦＤ
６７
（２０，１０，５０，１００）
　　　　　　　　　　　２０		 問題２０番と同様
６８
（２０，１０，７０，７０）
　　　　　　　　　　４０		 問題２７番と同様
６９
（２０，１０，７０，８０）
　　　　　　　　　　３０		 問題２６番と同様
７０
（２０，１０，８０，５０）
　　　　　　　　　　６０		 △ＢＣＤをＢＤで折り返す。Ｃ→Ｆとし、ＤＦとＡＢの交点Ｇ、△ＧＢＤの内心Ｈとする。△ＡＧＦ≡△ＨＧＦでタコ形ＡＧＨＤ。
７１
（２０，１０，８０，６０）
　　　　　　　　　　５０		 問題２９番と同様
７２
（２０，１０，１００，４０）
　　　　　　　　　　　８０		 ∠ＡＢＥの二等分線とＡＣの交点Ｆ、ＡＤとの交点Ｈとする。Ｄは△ＦＢＣの傍心で∠ＤＦＣ＝６０、△ＡＢＦ≡△ＤＢＦ
７３
（２０，１０，１００，５０）
　　　　　　　　　　　６０		 問題３３番と同様
７４
（２０，１０，１００，６０）
　　　　　　　　　　　３０		 問題３２番と同様
７５
（２０，１０，１１０，３０）
　　　　　　　　　　１００		 △ＢＣＤの外心ＦでＡＢは△ＦＢＣの対称軸。∠ＦＡＣ＝∠ＦＤＣよりＡＦＣＤは円に内接
７６
（２０，１０，１１０，４０）
　　　　　　　　　　　８０		 △ＢＣＤをＢＤで折り返す。Ｃ→Ｆとする。∠ＦＥＢ＝６０よりＦは△ＡＢＥの内心。△ＢＦＡ≡△ＢＦＤ
７７
（２０，１０，１１０，５０）
　　　　　　　　　　　４０		 Ａ側に正三角形ＢＣＦを作る。ＢＣ＝ＣＤ，ＡＢは△ＦＢＣの、ＡＣは△ＦＣＤの対称軸
７８
（２０，１０，１３０，３０）
　　　　　　　　　　１００		 Ｄの反対側に正三角形ＡＥＦを作る。ＡＥ＝ＥＢ、ＦＢＣＥは円に内接し、ＦＣ⊥ＢＤ、ＦＢ＝ＦＤ、∠ＦＤＥ＝５０、タコ形ＦＥＤＡ…
７９
（２０，２０，３０，５０）
　　　　　　　　　　２０		 トピックスの問題Ｌ10
８０
（２０，２０，３０，１００）
　　　　　　　　　　　１０		 △ＤＢＣの外心Ｆを作る。ＡＣは△ＦＢＣの対称軸。∠ＤＦＣ＝∠ＡＦＣ＝４０、∠ＡＣＤ＝１００で、四角形ＦＡＣＤは円に内接
８１
（２０，２０，４０，４０）
　　　　　　　　　　３０		 トピックスの問題Ｌ７
８２
（２０，２０，４０，１００）
　　　　　　　　　　　１０		 問題６番と同様
８３
（２０，２０，１００，３０）
　　　　　　　　　　　８０		 トピックスの問題Ｌ４
８４
（２０，２０，１００，５０）
　　　　　　　　　　　２０		 問題５３番と同様
８５
（２０，２０，１１０，３０）
　　　　　　　　　　　８０		 △ＡＢＣの外心Ｆをとると、Ｃは△ＢＦＤの外心、△ＦＢＡ≡△ＣＢＤでＡＢ＝ＢＤ
８６
（２０，２０，１１０，４０）
　　　　　　　　　　　３０		 問題１０番と同様
８７
（２０，３０，２０．６０）
　　　　　　　　　　１０		 問題３８番と同様
８８
（２０，３０，３０，４０）
　　　　　　　　　　２０		 トピックスの問題Ｌ６
８９
（２０，３０，３０，８０）
　　　　　　　　　　１０		 ＢＡのＡの延長上に∠ＢＣＦ＝７０となるＦ、ＦＣとＢＤの交点Ｇとする。ＦＡＥＧは円に内接、Ｅは△ＦＢＣの、Ｇは△ＡＤＣの外心
９０
（２０，３０，５０，３０）
　　　　　　　　　　４０		 Ｄ側に、正三角形ＡＣＦを作る。ＡＢ＝ＡＣ、△ＡＢＦよりＢ，Ｄ，Ｆは同一直線上。ＤＣは△ＡＣＦの対称軸
９１
（２０，３０，５０，８０）
　　　　　　　　　　１０		 ＢＤ上に∠ＡＣＦ＝６０となるＦをとると、Ａは△ＦＢＣの外心また、Ｆは△ＡＣＤの外心
９２
（２０，３０，８０，３０）
　　　　　　　　　　６０		 ＡＣ＝ＣＢ、Ａ側に正三角形ＦＢＣを作る。ＢＤはその対称軸∠ＦＡＣ＝∠ＦＤＣから、ＡＤＣＦは円に内接する。
９３
（２０，３０，８０，６０）
　　　　　　　　　　１０		 ＢＣ＝ＡＣ、Ａ側に正三角形ＦＢＣを作る。ＢＤはその対称軸から、∠ＤＦＣ＝８０、Ｃは△ＡＦＢの外心から、∠ＡＦＣ＝８０
９４
（２０，３０，１００，３０）
　　　　　　　　　　　６０		 △ＡＢＣの外心Ｆ、またＦはＣのＢＤについての対称点。∠ＦＡＣ＝∠ＦＤＣより四角形ＡＦＣＤは円に内接する。
９５
（２０，３０，１００，４０）
　　　　　　　　　　　２０		 問題４６番と同様
９６
（２０，３０，１１０，３０）
　　　　　　　　　　　４０		 問題４５番と同様
９７
（２０，４０、２０、５０）
　　　　　　　　　　１０		 問題１９番と同様
９８
（２０，４０，４０，３０）
　　　　　　　　　　３０		 トピックスの問題Ｌ１４
９９
（２０，４０，４０，７０）
　　　　　　　　　　１０		 ＣＡの延長上に∠ＡＢＦ＝２０となるＦをとる。Ｄは△ＦＢＣの傍心また、Ａは△ＦＢＤの内心
１００
（２０，４０，８０，３０）
　　　　　　　　　　５０		 △ＢＤＣをＢＤで折り返し、Ｃ→Ｆとする。Ａは△ＦＢＥの傍心で、∠ＦＡＢ＝３０．ＡＣは△ＦＤＣの対称軸
１０１
（２０，４０，８０，５０）
　　　　　　　　　　１０		 トピックスの問題Ｌ９と同様
１０２
（２０，４０，１００，３０）
　　　　　　　　　　　３０		 ＢＤ間に∠ＤＣＦ＝１０のＦをとると、ＣＥ＝ＥＦ＝ＦＡ、△ＥＣＦをＣＦ＝ＦＤから△ＡＦＤの中に貼り付ける。正三角形の頂点が外心
１０３
（２０，５０，４０，６０）
　　　　　　　　　　１０		 △ＡＢＣをＡＣで折り返す。Ｂ→Ｆ。ＣＦとＢＡの交点をＧ。ＧＢＣＤは円に内接する。△ＧＡＦの外心Ｈで△ＨＦＧ≡△ＤＦＧ
１０４
（２０，５０，７０，３０）
　　　　　　　　　　４０		 問題５２番と同様
１０５
（２０，６０，３０，５０）
　　　　　　　　　　１０		 トピックスの問題Ｌ１７
１０６
（２０，６０，５０，３０）
　　　　　　　　　　３０		 トピックスの問題Ｌ１１
１０７
（２０，６０，５０，５０）
　　　　　　　　　　１０		 ＢＡの延長上に∠ＢＤＦ＝８０となるＦをとると等脚台形ＦＢＣＤ。△ＦＢＤの中に正三角形ＦＤＨを作る。△ＡＢＤ≡△ＨＤＢ
１０８
（２０，６０，７０，３０）
　　　　　　　　　　３０		 Ｃ側に正三角形ＡＢＦを作る。ＡＣはその対称軸。ＤＢＣＦは円に内接する。ＤＦ＝ＦＡ＝ＦＢから、Ｆは△ＡＢＤの外心
１０９
（２０，８０，３０，４０）
　　　　　　　　　　１０		 △ＢＣＤの外心Ｆをとる。ＡＣは正三角形ＦＢＣの対称軸。∠ＡＦＤ＝∠ＡＦＣより、△ＡＦＤ≡△ＡＦＣでＡＣ＝ＡＤ
１１０
（２０，８０，４０，３０）
　　　　　　　　　　２０		 トピックスの問題Ｌ１９と同様
１１１
（２０，８０，４０，４０）
　　　　　　　　　　１０		 問題５６番と同様
１１２
（２０，８０，５０，３０）
　　　　　　　　　　２０		 △ＡＢＣの外心Ｆを作る。ＡＦとＤＣの交点をＧ、タコ形ＦＢＣＧの対称軸ＢＧから、∠ＦＢＧ＝３０、二等辺三角形ＡＢＧ
１１３
（２０，１００，２０，３０）
　　　　　　　　　　　１０		 Ａを含む正三角形ＤＦＣを作る。ＤＢとＦＣの交点Ｍ、∠ＦＢＭ＝∠ＡＢＦ、∠ＡＥＦ＝∠ＦＥＢでＦは△ＡＥＢの傍心。∠ＡＦＥ＝１０
１１４
（２０，１００，４０，３０）
　　　　　　　　　　　１０		 ＤＣ上に∠ＣＢＦ＝４０となるＦをとる。正三角形ＥＢＦ、△ＥＡＦは底角１０の二等辺三角形でＤＡＥＦは円に内接する。
１１５
（３０，１０，２０，１３０）
　　　　　　　　　　　１０		 △ＢＣＤの外心をＦ、ＦＣとＢＡの交点をＧ。ＢＧは正三角形ＦＢＤの対称軸。Ａは△ＧＣＤの傍心から、∠ＧＤＡ＝３０
１１６
（３０，１０，３０，１００）
　　　　　　　　　　　２０		 △ＡＢＣの外心をＦ。ＢＤは正三角形ＡＢＦの対称軸から∠ＡＤＢ＝∠ＢＤＦ、ＢＦＣＤは円に内接するので、∠ＢＤＦ＝２０
１１７
（３０，１０，３０，１３０）
　　　　　　　　　　　１０		 ＢＣ＝ＣＤ、Ａ側に正三角形ＦＣＤを作る。△ＢＣＦから、Ｂ，Ａ，Ｆは同一直線上。ＡＦ＝ＦＣ＝ＦＤからＦは△ＡＣＤの外心。
１１８
（３０、１０，４０，１１０）
　　　　　　　　　　　２０		 △ＢＣＤの外心をＦ、ＢＡは正三角形ＦＢＤの対称軸。ＡＦは△ＦＢＣと△ＡＢＣの対称軸。∠ＢＦＡ＝∠ＡＦＣ＝∠ＡＤＢ
１１９
（３０，１０，６０，８０）
　　　　　　　　　　４０		 △ＢＣＤの外心Ｆを作る。ＦＤ間に∠ＦＣＧ＝６０となるＧをとると、△ＦＢＡ≡△ＣＦＤでＡＦ＝ＣＧ＝ＣＤ、正三角形ＣＤＨを作り…
１２０
（３０，１０，６０，１００）
　　　　　　　　　　　２０		 ＢＣ＝ＣＤ、Ａ側に正三角形ＦＣＤを作る。二等辺三角形ＦＢＣから、Ｂ，Ａ，Ｆは同一直線上ＡＦ＝ＡＣから、タコ形ＡＣＤＦ
１２１
（３０，１０，７０，７０）
　　　　　　　　　　５０		 △ＢＤＣの外心Ｆをとると、∠ＤＦＣ＝２０。ＢＡ＝ＢＣ＝ＢＦで△ＡＢＦより∠ＡＦＣ＝２０　よってＦ，Ａ，Ｄは同一直線上、
１２２
（３０，１０，７０，８０）
　　　　　　　　　　４０		 △ＢＣＤの外心をＦとすると、∠ＣＦＤ＝２０、ＡＢは正三角形ＦＢＤの対称軸より、∠ＡＤＢ＝∠ＡＦＢ
１２３
（３０，１０，８０，５０）
　　　　　　　　　　７０		 Ｃ側に正三角形ＡＢＦを作る。ＢＦの中点Ｍ、ＡＭとＢＣの交点Ｎとし、ＢＤ、ＡＭはその対称軸。△ＤＣＮ≡△ＤＣＦ、Ｄは外心…
１２４
（３０，１０，８０，７０）
　　　　　　　　　　５０		 △ＢＣＤの外心Ｆとすると、ＢＡは正三角形ＦＢＤの対称軸。ＣＡとＦＤの交点Ｇ。四角形ＦＢＡＧは円に内接する。
１２５
（３０，１０，１００，５０）
　　　　　　　　　　　８０		 △ＢＣＤの外心Ｆをとる。ＢＡは正三角形ＦＢＤの対称軸。四角形ＦＢＣＡは円に内接する。
１２６
（３０，１０，１１０，４０）
　　　　　　　　　　１００		 Ｅを含む正三角形ＡＢＦを作る。ＡＥ，ＢＥはその対称軸。Ｅは重心から、∠ＤＥＦ＝∠ＣＥＦで、Ｆは△ＣＥＤの傍心になる。
１２７
（３０，１０，１１０，５０）
　　　　　　　　　　　７０		 トピックスの問題Ｌ１９と同様
１２８
（３０，１０，１２０，４０）
　　　　　　　　　　１００		 問題４１番と同様
１２９
（３０，２０，２０，１００）
　　　　　　　　　　　１０		 Ａの反対側に正三角形ＤＣＦを作る。△ＡＢＣの外心Ｈとする。△ＢＥＣ≡△ＢＨＣ、△ＡＨＣ≡△ＥＣＤ、△ＤＥＦ≡△ＣＡＤ
１３０
（３０，２０，３０，７０）
　　　　　　　　　　２０		 △ＢＣＤの外心ＦはＡＣ上ＢＡのＡの延長上に∠ＦＧＢ＝２０のＧをとると、Ｆは△ＧＢＤの外心、Ｇは△ＡＦＤの外心
１３１
（３０，２０，３０，１１０）
　　　　　　　　　　　１０		 問題１１６番と同様
１３２
（３０，２０，５０，５０）
　　　　　　　　　　４０		 ＡＢ＝ＡＣ、Ｃ側に正三角形ＡＢＦを作る。ＢＤはその対称軸で∠ＡＤＢ＝∠ＦＤＢ、∠ＡＣＦ＝８０、Ｄは△ＥＦＣの傍心。
１３３
（３０，２０，５０，１００）
　　　　　　　　　　　１０		 問題１１８番と同様
１３４
（３０，２０，８０，４０）
　　　　　　　　　　７０		 ＢＣ＝ＡＣ、Ｄを含む正三角形ＡＣＦを作る。△ＣＢＦから、Ｂ，Ｄ，Ｆは同一直線上。ＤＣ＝ＤＦからＡＤは対称軸。
１３５
（３０，２０，８０，７０）
　　　　　　　　　　２０		 問題１２２番と同様
１３６
（３０，２０，１００，４０）
　　　　　　　　　　　８０		 トピックスの問題Ｌ１９と同様
１３７
（３０，２０，１００，５０）
　　　　　　　　　　　４０		 問題１００番と同様
１３８
（３０，２０，１１０，４０）
　　　　　　　　　　　７０		 問題１２５番と同様
１３９
（３０，４０，３０，５０）
　　　　　　　　　　２０		 トピックスの問題Ｌ１５
１４０
（３０，４０，３０，８０）
　　　　　　　　　　１０		 △ＢＣＤの外心Ｆとする。ＡＣは△ＦＢＣの対称軸。∠ＡＦＤ＝１５０、∠ＡＢＤ＝３０で四角形ＡＢＤＦは円に内接する。
１４１
（３０，４０，４０，８０）
　　　　　　　　　　１０		 トピックスの問題Ｌ１２
１４２
（３０，４０，７０，４０）
　　　　　　　　　　５０		 問題１３２番と同様
１４３
（３０，４０，８０，４０）
　　　　　　　　　　５０		 問題１００番と同様
１４４
（３０，４０，８０，５０）
　　　　　　　　　　２０		 問題５２番と同様
１４５
（３０，５０，３０，７０）
　　　　　　　　　　１０		 問題３５番と同様
１４６
（３０，５０，４０，７０）
　　　　　　　　　　１０		 ＢＥ間に∠ＥＡＦ＝２０　のＦをとると、ＡＦＣＤは円に内接する。△ＡＢＥの外心Ｇをとる、ＡＧＢＣは円に内接。△ＡＦＣ≡△ＧＦＣ…
１４７
（３０，５０，６０，４０）
　　　　　　　　　　４０		 △ＤＢＣの外心Ｆとする。ＤＦとＡＢの交点Ｇとする。タコ形ＧＢＣＦと円に内接する四角形ＡＧＣＤで解決
１４８
（３０，５０，７０，４０）
　　　　　　　　　　４０		 トピックスの問題Ｌ１６
１４９
（３０，７０，２０，５０）
　　　　　　　　　　１０		 ＢＤ＝ＤＣ、Ａを含む正三角形ＦＢＤを作ると、ＡＢは対称軸になる。ＦＣとＡＢの交点Ｇとすると．ＤＧＡＣは円に内接する。
１５０
（３０，７０，３０，４０）
　　　　　　　　　　２０		 問題９０番と同様
１５１
（３０，７０，５０，５０）
　　　　　　　　　　１０		 トピックスの問題Ｌ６と同様
１５２
（３０，７０，６０，４０）
　　　　　　　　　　２０		 △ＤＢＣの外心Ｆ、ＦＣとＢＤの交点Ｇ、ＤＦとＡＣの交点Ｈとする。Ｇは△ＨＤＣの内心。ＡＢＣＦは円に内接。△ＡＦＨ≡△ＧＦＨ
１５３
（３０，８０，３０，５０）
　　　　　　　　　　１０		 問題９０番と同様
１５４
（３０，８０，４０，４０）
　　　　　　　　　　２０		 トピックスの問題Ｌ４と同様
１５５
（３０，１００，２０，４０）
　　　　　　　　　　　１０		 Ｅを含む正三角形ＡＢＦを作る。ＡＣとＢＤはこの対称軸になっている。Ｆは△ＤＥＣの内心
１５６
（３０，１００，３０，４０）
　　　　　　　　　　　１０		 △ＡＢＣの外心ＦはＤＣ上で、ＢＤは正三角形ＡＢＦの対称軸
１５７
（４０，１０，３０，１１０）
　　　　　　　　　　　２０		 問題８０番と同様
１５８
（４０，１０，５０，１００）
　　　　　　　　　　　３０		 ＡＢ＝ＡＣ、Ｃ側に正三角形ＡＢＦを作る。△ＡＦＣより、Ｆ，Ｃ，Ｄは同一直線上。ＢＦ＝ＦＤ＝ＡＦ
１５９
（４０，１０，５０，１１０）
　　　　　　　　　　　２０		 ＢＣ＝ＣＤ，Ａ側に正三角形ＦＣＤを作る。ＡＣを対称軸にするタコ形ＡＢＣＦとタコ形ＡＣＤＦで解決。
１６０
（４０，１０，８０，６０）
　　　　　　　　　　７０		 ＡＣ＝ＢＣ、Ａ側に正三角形ＦＢＣを作る。∠ＢＦＡ＝∠ＢＣＤで△ＦＢＡ≡△ＣＢＤ、ＡＢ＝ＤＢ
１６１
（４０，１０，８０，７０）
　　　　　　　　　　６０		 △ＡＤＣをＡＣで折り返す。Ｄ→Ｆとする。ＡＣ＝ＣＢから、△ＦＢＣを△ＡＣＦの中にはりつけるＦ→Ｇとする。正三角形ＦＣＧ…
１６２
（４０，１０，１００，６０）
　　　　　　　　　　　７０		 問題８５番と同様
１６３
（４０，２０，２０，１１０）
　　　　　　　　　　　１０		 △ＢＣＤの外心Ｆとすると、ＢＤとＦＣの交点Ｇとすると、△ＦＢＣ，△ＦＡＧは正三角形。ＡＧ＝ＧＦ＝ＧＤ
１６４
（４０，２０，４０，７０）
　　　　　　　　　　３０		 △ＢＣＤの外心Ｆ。Ｃ側に正三角形ＢＦＧを作る。△ＡＦＧ≡△ＡＦＤ。ＡＢ＝ＢＦから、Ｂは△ＡＦＧの外心
１６５
（４０，２０，４０，１１０）
　　　　　　　　　　　１０		 △ＢＣＤの外心をＦ、ＢＡとＦＣの交点をＧとする。ＦＧ＝ＢＧから、ＧＤは△ＦＢＤの対称軸。タコ形ＧＡＣＤ～解決。
１６６
（４０，２０，８０，５０）
　　　　　　　　　　７０		 問題７２番と同様
１６７
（４０，２０，８０，７０）
　　　　　　　　　　３０		 △ＢＣＤの外心をＦとする。二等辺三角形ＡＦＢから、ＡＤは正三角形ＦＢＤの対称軸
１６８
（４０，２０，１００，５０）
　　　　　　　　　　　７０		 △ＢＣＤの外心Ｆ、ＦＢＣＡは円に内接する。ＦＢ〃ＡＣから等脚台形ＦＢＣＡ、△ＡＦＤ≡△ＣＢＤ
１６９
（４０，３０，３０，７０）
　　　　　　　　　　２０		 トピックスの問題Ｌ１８
１７０
（４０，３０，３０，１００）
　　　　　　　　　　　１０		 △ＢＣＤの外心Ｆをとる。△ＦＢＣは頂角４０の二等辺三角形から、Ｂ，Ａ，Ｆは同一直線上。ＡＤはタコ形ＦＡＣＤの対称軸
１７１
（４０，３０，４０，６０）
　　　　　　　　　　３０		 問題９２番と同様
１７２
（４０，３０，７０，７０）
　　　　　　　　　　２０		 問題９１番と同様
１７３
（４０，３０，８０，５０）
　　　　　　　　　　６０		 問題５９番と同様
１７４
（４０，３０，８０，６０）
　　　　　　　　　　３０		 問題９４番と同様
１７５
（４０，６０，３０，７０）
　　　　　　　　　　１０		 △ＡＢＣをＡＣで折り返しＢ→Ｆ、ＣＦとＢＡの交点Ｇとする。ＧＢＣＤは円に内接。ＧＦ＝ＧＤ＝ＦＤ＝ＧＡ
１７６
（４０，６０，５０，５０）
　　　　　　　　　　３０		 問題１３番と同様
１７７
（４０，７０，２０，６０）
　　　　　　　　　　１０		 ＥＤ間に∠ＡＦＥ＝２０となるＦをとる。ＦＡＢＣは円に内接する。ＦＣ＝ＣＡ、△ＤＦＣの外心Ｇとする。△ＤＦＧ≡△ＦＡＣ
１７８
（４０，７０，３０，５０）
　　　　　　　　　　２０		 問題１０９番と同様
１７９
（４０，７０，４０，６０）
　　　　　　　　　　１０		 △ＢＣＤの外心Ｆ。ＢよりＡＣに垂線を下ろしＦＣとの交点Ｇとする。ＡＢＣＧはタコ形で、ＡＢＧＦもタコ形。Ａ，Ｆ，Ｄは同一直線上。
１８０
（４０，７０，５０，５０）
　　　　　　　　　　２０		 ∠ＡＥＢの二等分線とＣＢ，ＣＦとの交点Ｇ，Ｆとする。△ＥＧＣ≡△ＥＤＣ、ＣＡは△ＣＧＤの対称軸。Ｇは△ＡＥＢの傍心
１８１
（５０，２０，４０，８０）
　　　　　　　　　　３０		 ＣＡ＝ＣＢ、Ａの反対側に正三角形ＢＣＦを作る。ＥＢＦＣは円に内接する。△ＡＥＦ≡△ＤＥＦ
１８２
（５０，２０，７０，８０）
　　　　　　　　　　３０		 問題１５８番と同様
１８３
（５０，３０，３０，８０）
　　　　　　　　　　２０		 Ａ側に正三角形ＢＣＦを作る。ＡＣ，ＢＤはその対称軸。∠ＡＦＢ＝２０、∠ＤＦＣ＝５０、ＦＡＢＤは円に内接する。
１８４
（５０，３０，４０，７０）
　　　　　　　　　　３０		 △ＤＢＣの外心Ｆ。ＣＤ＝ＤＥ＝ＤＦ＝ＦＣ、ＡＢＥＦは円に内接。△ＡＦＤ≡△ＡＦＣ
１８５
（５０，３０，６０，８０）
　　　　　　　　　　２０		 問題１７０番と同様
１８６
（５０，３０，７０，７０）
　　　　　　　　　　３０		 問題１３番と同様
１８７
（６０，２０，３０，１００）
　　　　　　　　　　　２０		 問題１４０番と同様
１８３
（６０，２０，５０，８０）
　　　　　　　　　　４０		 問題１２１番と同様
１８９
（６０，２０，５０，１００）
　　　　　　　　　　　２０		 △ＢＣＤの外心Ｆ、ＢＤとＦＣの交点Ｇとする。ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＧ。△ＡＢＧと△ＦＢＤは正三角形でその対称性から解決
１９０
（６０，２０，７０，８０）
　　　　　　　　　　４０		 △ＡＢＣをＡＣで折り返す。Ｂ→Ｆ、△ＡＢＣの外心Ｇとする。正三角形ＧＢＣから、△ＧＡＣ≡△ＦＤＣで、ＡＣ＝ＣＤ
１９１
（６０，４０，３０，８０）
　　　　　　　　　　２０		 トピックスの問題Ｌ２０と同様
１９２
（６０，４０，５０，８０）
　　　　　　　　　　２０		 △ＢＣＤをＢＤで折り返し、Ｃ→Ｆ、ＤＦとＣＢの交点Ｇ、ＦＤ間に∠ＤＣＨ＝２０となるＨ。ＡＧＢＦは円に内接、Ａは△ＧＨＣの外心
１９３
（７０，１０，４０，１１０）
　　　　　　　　　　　３０		 ＢＤ上に∠ＢＡＦ＝４０のＦ、Ｄ側に正三角形ＡＦＧを作る。ＡＢ＝ＡＧ。ＡＢＣＧは円に内接。△ＡＢＦ≡△ＧＦＣ。ＡＦＣＤは円に…
１９４
（７０，１０，５０，１００）
　　　　　　　　　　４０		 Ａの反対側に正三角形ＢＣＦを作る。ＢＤは△ＡＢＦの対称軸、∠ＡＤＢ＝∠ＢＤＦ。△ＢＤＣ≡△ＦＤＣ
１９５
（７０，１０，５０，１１０）
　　　　　　　　　　　３０		 ＢＥ間に∠ＡＦＢ＝７０となるＦをとると、ＡＦ＝ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤで２角夾辺から、△ＡＦＥ≡△ＤＣＥ。ＡＥ＝ＥＤ
１９６
（７０，１０，６０，１００）
　　　　　　　　　　　４０		 Ａ側に正三角形ＣＤＦを作る。∠ＢＦＣ＝４０。等脚台形ＡＢＣＦより、ＡＦ＝ＢＣ＝ＦＤ、∠ＦＤＡ＝１０
１９６
（７０，３０，２０，１１０）
　　　　　　　　　　　１０		 ＢＤ上に∠ＣＡＦ＝２０のＦ、ＢＣ上に∠ＢＡＧ＝２０のＧをとる。ＡＢＧＦはタコ形。Ｆは△ＡＧＣの内心。ＡＦＣＤは円に内接する。
１９８
（７０，３０，３０，１１０）
　　　　　　　　　　　１０		 Ａ側に正三角形ＦＢＣを作る。ＡＣ，ＢＤはその対称軸。∠ＡＦＢと∠ＢＦＣと∠ＣＦＤから、Ａ，Ｆ，Ｄは同一直線上
１９９
（７０，３０，５０，８０）
　　　　　　　　　　４０		 問題１０９番と同様
２００
（７０，３０，６０，８０）
　　　　　　　　　　４０		 △ＢＣＤの外心Ｆ、ＦＢとＡＣの交点Ｇ。ＡＢＣＦは等脚台形でＡＣ＝ＢＦ＝ＦＣ＝ＣＤ。△ＡＣＤで解決
２０１
（７０，４０，２０，１００）
　　　　　　　　　　　１０		 △ＡＢＣの外心Ｆ、ＡＦ＝ＦＣ、△ＤＦＣをＡＦの上部に貼り付けＤ→Ｇとする。正三角形ＧＦＤから、Ｇは△ＡＤＦの外心
２０２
（７０，４０，３０，１００）
　　　　　　　　　　　１０		 ＢＥ間に∠ＥＡＦ＝１０となるＦ、ＦよりＡＢに垂線FHを下ろし、さらにCBとの交点をGとする、Fは△AGCの外心、AFCDは円に…
２０３
（７０，４０，４０，８０）
　　　　　　　　　　３０		 問題７２番と同様
２０４
（７０，４０，５０，８０）
　　　　　　　　　　３０		 BD上に∠BFC=２０となるFをとり、ABCFは円に内接。FDの上部に△ACFを貼り付け。A→Gとする。Gは△ADFの外心
２０５
（８０，２０，３０，１１０）
　　　　　　　　　　　２０		 問題１９６番と同様
２０６
（８０，２０，４０，１００）
　　　　　　　　　　　３０		 問題１９５番と同様
２０７
（８０，２０，４０，１１０）
　　　　　　　　　　　２０		 問題１９４番と同様
２０８
（８０，２０，５０，１００）
　　　　　　　　　　　３０		 問題７２番と同様
２０９
（８０，３０，３０，１００）
　　　　　　　　　　　２０		 問題１９８番と同様
２１０
（８０，３０，４０，１００）
　　　　　　　　　　　２０		 問題１０９番と同様
２１１
（１００，１０，３０，１３０）
　　　　　　　　　　　　２０		 BC=CD、A側に正三角形CDFを作る。ABCFは円に内接し、AF=ACから、ACDFはタコ形
２１２
（１００，１０，４０，１２０）
　　　　　　　　　　　　３０		 BC=CD、△ABCの外心Fとする。△AFB、△CFDから、A,F,Dは同一直線上
２１３
（１００，２０，２０，１３０）
　　　　　　　　　　　　１０		 BD間に∠BCF=１２０のFをとると、対称性から、等脚台形ABCF。Aの反対側に正三角形FCGを作ると平行四辺形ABGF。
２１４
（１００，２０，４０，１１０）
　　　　　　　　　　　　３０		 △BCDの外心Fを作る。四角形ABCFは円に内接し、AB=AF。四角形ABDFはタコ形。
２１５
（１００，３０，２０，１２０）
　　　　　　　　　　　　１０		 トピックスの問題Ｌ２０
２１６
（１００，３０，３０，１１０）
　　　　　　　　　　　　２０		 △ABCの外心F、BD間に∠DCG=10のGをとる。△BCGの外心はF、△FCDの外心はGとなる…A,F,Dは同一直線上

　１０月末(２００５年）にはラングレー全問のページはできあがっていたのに突然パソコン画面が真っ暗画面に白字の文字が！…　…ハードディスクが壊れちゃいました。ファイルを返してくれーっ！……１１月に復旧し、やっとまたこのページが完成しました。チカレタビィー