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| 「 内接円」や「内心」という用語は現在の中学の教科書には出てきませんが、三角形の角の二等分線は１点で交わるという証明は現在、中学２年生の教科書（東書その他）にあります。 |
| 内接円、内心について |
それぞれの角の二等分線は１点でまじわり、 点Dを中心に円を書くと… ｊ   |
 Dを中心に三角形の３つの辺に接する 円を書くことができます。この円を 内接円といい、中心を内心といいます。 |
| [定理８] 三角形の３つの角の二等分線は１点で交わる |
| △ABCの∠Bと∠Cの二等分線の 交点をDとすると線分ADは∠Aを ２等分することを証明する。  [定理８の証明] 点Dより各辺に垂線をおろし図↓の ようにP,Q,Rとする△PBDと△QBDに おいてBD共通、∠PBD＝∠QBD、 ∠BPD=∠BQD=９０、斜辺と１鋭角が 等しいので△PBD≡△QBD から PD＝DQ、同様にして △DQC≡△DRC から、DQ=DR、 よって、ＰＤ＝ＤＲ 以上から、 △APDと△ARDにおいて 斜辺と他の１辺が等しいことから、 △APD≡△ARD よって、 ∠PAD＝∠RAD  |
| 【内心の角度の関係】 |
| 三角形の内角の和より ２ａ＋２ｂ＋２ｃ＝１８０ よって、 ａ＋ｂ＋ｃ＝９０ の関係があります。  |
| 基本問題（内心をＤとする） |
【 問題１】  答え Ｘ＝３５ |
【問題２】  答え Ｘ＝８４ |
| 【問題３】  答え Ｘ＝１３４ |
| [定理９] |
| △ABCの内部の点Dは ∠BAD＝ａ ∠DCB＝ｄ ∠ABD=∠DBC＝ｂ として ａ＋ｂ＋ｄ＝９０ を満たすとき、 点Dは内接円の中心（内心） であることを証明せよ。  |
[定理９の証明その１] △ABCの外接円とBD,CDの 延長線の交点をE,Fとし、 ADとFEの交点をGとする。 円周角より、 ∠FAB=∠FCB=ｄ ∠EBC＝∠EFC= ｂ ＝∠ABE=∠AFE △AFGにおいて、 ∠BAD＋∠AFG+∠FAB＝ ａ＋ｂ＋ｄ＝９０ よって、∠AGF=９０これから △AFG≡△DFG がなりたち、 四角形AFDEはカイト形になり、 ∠AEF=∠FEB＝ｄ 円周角から、 ∠ACD＝∠AEF=ｄ  |
[定理９の証明その２] ａ＜ｄ のとき △ABDをBDで折り返して Ａ→Ｅとして BDとAEの交点を Fとすると、△ABE及び△ADEは BFを対称軸とする 二等辺三角形で、BF⊥AE、 ∠ADF=ａ＋ｂ＝９０−ｄ （仮定） △ADFの内角から、∠DAF=ｄ ∠DAF=∠DCB=ｄから、 四角形ADCEは 円に内接するので、 ∠ACD＝∠AED＝ｄ ａ＝ｄ のとき…略  |
| [ 問題 ] |
[問題１] 下の図で ａ＋ｂ＋ｃ＝９０ を満たすとき、 点Dは内心であることを証明せよ。  |
[問題２] 下の図で ａ＋ｂ＋ｃ＝９０ ∠ABC≠∠ACB を満たすとき、 点Dは内心であることを証明せよ。  |
[問題３] ↓図の△ＡＢＣにおいて、∠Ａの二等分線とこの三角形の外接円との交点をＤとする、同様に、∠Ｂ、∠Ｃの二等分線とこの外接円との交点をそれぞれＥ，Ｆとし角の二等分線の交点をＩとする。このときＥＢ⊥ＦＤ、ＦＣ⊥ＥＤ、、ＡＤ⊥ＥＦを証明しなさい。（△ＥＦＤの垂心は点Ｉであることの証明です）  この問題は２００７年の京都大学の理系問題です。少しアレンジしていますが、内容はあまり変わりません。 |