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| 外接円、外心について |
それぞれの各辺の垂直二等分線は一点でまじわり、その点Dを中心に円を書くと…   |
 Dを中心に三角形の３つの頂点を通る円を書くことができて、この円を「外接円」、その中心Dを「外心」といいます。 |
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| 外接円、外心について |
それぞれの各辺の垂直二等分線は一点でまじわり、その点Dを中心に円を書くと… |
| Dを中心に三角形の３つの頂点を通る円を書くことができて、この円を「外接円」、その中心Dを「外心」といいます。 |
| 【 三角形の垂直二等分線は 1点で交わることの証明 】 |
[証明] △ＡＢＣにおいて、 辺ＡＢと辺ＡＣの垂直二等分線の 交点をＤとする。 △ＡＢＤと△ＡＣＤは 二等辺三角形から、 ＤＡ＝ＤＢ＝ＤＣ よって、 △ＤＢＣも二等辺三角形から、 頂点Ｄは辺ＢＣの 垂直二等分線上にある。 したがって、三角形の三辺の 垂直二等分線は1点で交わる  |
| 【 三角形の外心の位置 】 |
鋭角三角形ＡＢＣの時下図、 （どの頂点も９０°より小） 外心Ｏは△ＡＢＣの内部にある。  |
直角三角形ＡＢＣの時下図 外心Ｏは斜辺の中点にある。  |
| 鈍角三角形ＡＢＣの時下図 （90°より大の角を持つ） 外心Ｏは鈍角の対応する 辺（下図では辺ＢＣ）の下側にくる。  |
| 【 外心の角度の関係 】 |
外心の角度の関係 その１ △ＡＢＣの外心Ｏをとして、外心Ｏ が△ＡＢＣの内部にあるとき、外 接円の半径から、３つの二等辺 三角形がある。その底角を図の ようにａ，ｂ，ｃ，とすると、 ２ａ＋２ｂ＋２ｃ＝１８０° ２でわって、 ａ＋ｂ＋ｃ＝９０° ∠ＢＡＣ＞９０ の鈍角では、 ｂ＋ｃーａ＝９０°  |
外心の角度の関係 その２ ∠ＢＤＣ＝Ｘ、∠ＢＡＣ＝Ｙとする。 ｂ＋ｃ＝９０ーａ より Ｘ＝１８０−２ａ ＝２（９０−ａ）＝２（ｂ＋ｃ） よって、 Ｘ＝２Ｙ もちろんこれは、 円周角と中心角の関係です。  |
| 外心の基本問題〜 |
外心Ｏとして、∠Ｘ を求める  答え X＝３５° |
外心をＯとして、∠Ｘ を求める  答え X＝４０° |
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次の【定理１０】は「ラングレーの問題」以外でも |
| 【定理１０】 |
下図 △ＡＢＣについて、 ∠Ａ＝ａ として、 ０＜ａ＜９０で、点Ｄが、 辺BCに対してA側にあって、 ∠ＢＤＣ＝２ａ を満たし、 ＢＤ＝ＤＣ のとき、 点Ｄは△ＡＢＣの外心になる。 ∠Ａ＞９０ のときは 点Ｄは辺ＢＣについて、 頂点Ａとは反対がわにある。  |
【定理１０の証明】 下図は ０＜ａ＜９０について、 二等辺三角形ＤＢＣから、 ∠ＢＤＣ＝２ａ なので、 ∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ＝９０−ａ △ＡＢＣの外心をＯとする。 外心の性質から、ＯＢ＝ＯＣ ∠ＢＯＣ＝２ａ、よって、 ∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ＝９０−ａ ＢＣが共通していることから、 △ＤＢＣ≡△ＯＢＣ（2角夾辺） よって、点Ｄと点Ｏは一致する。 点Ｄは外心である。 ∠Ａ＞９０ のときは …略…  |
この「定理１０」は円周角と中心角の関係から見れば、
明らかかもしれません
| 【定理１０】 を用いる例題 |
【例題１】 下図の∠ＤＡＣは？  【解答】 ∠ＢＡＣ＝５０ ∠ＢＤＣ＝１００＝２∠ＢＡＣ ＢＤ＝ＤＣより 「定理１０」から、点Ｄは △ＡＢＣの外心 よって、 ∠ＤＡＣ＝∠ＤＣＡ＝３０° |
【例題２】 下図の∠ＡＤＢは？  【解答】 ∠ＢＤＣ＝２０ ∠ＢＡＣ＝４０＝２∠ＢＤＣ ∠ＡＢＣ＝∠ＡＣＢ より ＡＢ＝ＡＣ 「定理１０」から、点Ａは △ＤＢＣの外心 よって、ＡＢ＝ＡＤから、 ∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ＝３０° |
【例題３】 下図の∠ＡＣＢは？  【解答】 ∠ＢＣＤ＝１２０、 ∠ＢＡＤ＝１２０ から、 ∠ＢＡＤ（優角）＝３６０−１２０ ＝２４０＝２∠ＢＣＤ また、∠ＡＢＤ＝∠ＡＤＢ より、 ＡＢ＝ＡＤ 「定理１０」から、点Ａは △ＤＢＣの外心 よって、 ＡＣ＝ＡＤから、 ∠ＡＣＤ＝∠ＡＤＣ＝７０° 優角 …とはその角度の鋭角ではない鈍角のほうです。 |
| 【問題１】 △ＡＢＣはＡＢ≠ＡＣで、 内部の点Ｄは ∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＢ＝ａ ∠ＢＡＤ＝ｃ ∠ＡＣＤ＝ｂ ａ＋ｂ＋ｃ＝９０° このとき、点Ｄは外心である ことを証明しなさい。  |