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| 補助線の練習その１ 正方形と正三角形 |
下の例題は中学２年の図形の二等辺 三角形のところに出てくる問題です。 ［例題１，２］ それぞれの四角形ＡＢＣＤは正方形で、 △ＰＢＣ、△ＱＡＤは正三角形として、 ∠Ｘ，∠Ｙをそれぞれ求めなさい。  ［例題１の解答］ 正方形ＡＢＣＤより ＡＢ＝ＢＣ 正三角形ＰＢＣより ＢＣ＝ＰＢ よって、ＡＢ＝ＰＢ また、 ∠ＡＢＰ＝∠ＡＢＣ−∠ＰＢＣ ＝９０ ー ６０ ＝ ３０ 二等辺三角形ＡＢＰより∠ＡＰＢ＝７５ △ＰＣＤも同様にして、∠ＤＰＣ＝７５ ∠ＡＰＤ＝３６０−（７５＋７５＋６０） ＝１５０ （答え）∠ＡＰＤ＝１５０° ［例題２の解答］ 正方形ＡＢＣＤより ＡＢ＝ＡＤ 正三角形ＱＡＤより ＡＤ＝ＡＱ よって、ＡＢ＝ＡＱ また、 ∠ＱＡＢ＝∠ＤＡＢ＋∠ＤＡＱ ＝９０ ＋ ６０ ＝ １５０ 二等辺三角形ＡＢＱより ∠ＡＱＢ＝１５、また△ＤＣＱも 同様にして、∠ＤＱＣ＝１５ ∠ＢＱＣ＝６０−（１５＋１５） ＝３０ （答え）∠ＢＱＣ＝３０° |
| 以上の問題は中学２年生の教科書のワークあたりにはよくあります。これに対して、↓の問題は角度の問題の難問かもしれません。もちろん、中2の教科書や教科書のワーク等にはありません。 最近（2014年）GooglePlayの数学クイズ なん度？というアプリでファイナルステージの最終問題の20番についての問い合わせがあったので、この20番については下↓（アプリの問題とは図が上下が逆）の【問題１】を参考にしてみて下さい。もしファイナルステージが終わられている方はその下の[問題２]以降の問題に挑戦してみては？いちおうの解答も2通りほどは付けています。 |
［問題１］ 正方形ＡＢＣＤの中に ＡＤを底辺とし、∠ＡＰＤ＝１５０ の二等辺三角形ＡＰＤ があるとき∠ＢＰＣは？  ［問題１の答え↑画像タップ］ コークスター「幾何学再入門」（1970年） にあった問題です。 |
［問題２］ 正方形ＡＢＣＤのＢＣを底辺とし 図のような∠ＢＱＣ＝３０の 二等辺三角形ＢＱＣが あるとき∠ＡＱＤは？  ［問題２の答え↑画像タップ］ |
| 補助線の練習…形をあてはめてみる |
| 下の〈図Ａ〉について このページのはじめの例題１，２をもとにすると、下のような角度の関係があります。この図を以下〈図Ａ〉と呼ぶことにします。このことを知っているということを前提にするとこのあとの問題の補助線は引きやすくなります。ただ、その補助線がベストとは限らないかもしれませんが補助線の練習になると思います。図には入れていませんが、正方形の対角線も書き加えるといいと思います。 |
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［例題3］ ∠Ａを直角とする直角二等辺 三角形ＡＢＣにおいて点Ｄは ∠ＡＢＤ＝３０、ＡＢ＝ＡＣ＝ＢＤ をみたすとき、 ∠ＤＣＢは？  ［例題3の答え］ 下図のような、正方形ＣＡＢＥ を作る。∠ＤＢＥ＝９０−３０＝６０ △ＤＢＥは正三角形 ＤＥ＝ＢＥ＝ＥＣより △ＤＣＥは頂角３０の 二等辺三角形より ∠ＤＣＢ＝∠ＤＣＥー∠ＢＣＥ ＝７５−４５＝３０  |
| 次の問題は上の〈図Ａ〉をもとに作られ ています。それでは、やってみましょう！ なかには、〈図Ａ〉の正方形や正三角形 をあてはめない方がよいのもあります。 |
［問題３］ ＢＡ＝ＡＤ＝ＤＣ、∠ＢＡＤ＝１５０ ∠ＡＤＣ＝９０、 ∠ＡＢＣは？  [問題３の解答↑画像タップ] |
［問題４］ （問題３の図と同じ形です） ∠ＢＡＣ＝45、∠ＡＣＢ＝４５ ∠ＤＡＣ＝３０、∠ＡＣＤ＝１０５ ∠ＡＤＢは？  [問題４の解答↑画像タップ] |
［問題５］ ∠ＤＢＣ＝∠ＤＣＡ＝∠ＤＡＣ＝１５ ∠ＤＣＢ＝３０、 ∠ＢＡＤは？  [問題５の解答↑画像タップ] |
［問題６］ ∠ＢＡＣ＝４５、∠ＣＡＤ＝３０ ∠ＢＤＣ＝１５、∠ＡＤＢ＝３０ ∠ＡＣＢは？  [問題６の解答↑画像タップ] |
［問題７］ ∠ＡＢＤ＝１５、∠ＤＢＣ＝４５ ∠ＡＤＢ＝３０、∠ＢＤＣ＝４５ ∠ＢＡＣは？  [問題７の答え↑画像タップ] |
［問題8］ ∠ＤAＣ＝15、∠ＤＢＣ＝15 ∠ＤCB＝３０、∠ＤＡＢ＝７５ ∠ABＤは？  [問題８の答え↑画像タップ] |
［問題９］ ∠ＤＢＣ＝４５、∠ＡＣＢ＝１５ ∠ＡＣＤ＝３０、∠ＡＤＢ＝４５ ∠ＡＢＤは？  （この問題は 「算数オリンピックに挑 戦９５〜９９」ブルーバックスにあります） [問題９の答え↑画像タップ] |
［問題１０］ ∠BDC＝９０、∠DBC＝４５ ∠ADB＝４５、 CB＝CA を満たすとき、 ∠ACBは？  清宮先生のモノグラフ「幾何学」「理 系への数学の記事」によると 、 この形の問題は古くからある 難問だそうです） [問題１０の答え↑画像タップ] |
| ［問題１１］ ∠ＡＢＤ＝３０、∠ＤＢＣ＝４５ ∠ＡＣＢ＝３０、∠ＤＣＡ＝１５ ∠ADBは？  [問題１１の答え↑画像タップ] |
［問題１２］ ∠ＡＢＤ＝３０、∠ＤＢＣ＝４５ ∠ＡＤＢ＝４５、∠ＢＤＣ＝９０ ∠ＡＣＢは？  [問題１２の答え↑画像タップ] |
［問題１３］ ∠ＡＢＤ＝３０、∠ＡＣＢ＝３０ ∠ＡＤＢ＝４５、∠ＤＣＡ＝１５ ∠ＢＤＣは？ 分度器と定規とコンパスを持っていたとして、下のような 角度が与えられたとき、図を描け、といったらどのよう に描きますか？（もちろん、Xの値はわからないとして）  [問題１３の答え↑画像タップ] |
［問題１４］ ∠ＡＢＭ＝３０、∠ＡＣＭ＝１５ ＢＭ＝ＭＣ ∠ＡＭＢは？  ［問題１４の答え↑画像タップ］ |
［問題１５］ ∠ＣＡＭ＝３０、∠ＡＣＭ＝１５ ＢＭ＝ＭＣ、 ∠ＡＢＭは？  ［問題１５の答え↑画像タップ］ この問題を２つあわせた 平行四辺形として「数学パズルランド （ブルーバックス）」にあります。 |
［問題１６］ ∠ＡＭＢ＝４５、∠Ｂ＝２∠Ｃ ＢＭ＝ＭＣ、 ∠Ｃは？  ［問題１６の答え↑画像タップ］ 清宮先生の「エレガントな 問題をつくる」にあります。 |
［問題１７］ ∠ＡＭＢ＝４５、∠Ｂ＝ＭＡＣ ＢＭ＝ＭＣ、 ∠Ｂは？  ［問題１７の答え↑画像タップ］ |
［問題１８］ ∠ＭＡＣ＝２∠Ｃ、∠Ｂ＝３０ ＢＭ＝ＭＣ、 ∠Ｃは？  ［問題１８の答え↑画像タップ］ |
［問題１９］ ∠ＭＡＣ＝２∠Ｃ、∠ＡBM＝２∠Ｂ ＢＭ＝ＭＣ、 ∠Ｃは？  解答省略 |
［問題２０］ ∠Ｂ＝３０、∠Ｃ＝１５ ∠ＡMB＝４５ のとき、 ＢＭ＝ＭＣを証明しなさい。  解答省略 |
［問題２１］ ∠ＡＢＭ＝１０５、∠ＡＣＭ＝３０ ＢＭ＝ＭＣ、 ∠ＡＭＢは？  ［問題２１の答え↑画像タップ］ （問題１４）と（問題２１）の２つの図形を合わせた四角形は円に内接する四角形にもなっている。 |
［問題２２］ ∠ＢＡＭ＝２∠ＣＡＭ、∠ＡＣＢ＝３０ ＢＭ＝ＭＣ、 ∠ＣＡＭは？  解答省略 答えは Ｘ＝１５ それと ３０ |