クロスオーバ・ネットワーク

Butterworth * Butterworth = Linkwitz-Rileyフィルタ

Linkwitz-RileyフィルタはButterworthフィルタの2段縦列接続です。n次のButterworth LPFの応答は

H LPF j ⁢ ω = 1 ω ω C 2 ⁢ n + 1

で表わせます。Linkwitz-Riley LPFのゲインは

H LPF 2 ⁡ j ⁢ ω = H LPF ⁡ j ⁢ ω 2 = 1 ω ω C 2 ⁢ n + 1 = ω C 2 ⁢ n ω 2 ⁢ n + ω C 2 ⁢ n

また同様に n次のButterworth HPFの応答は

H HPF j ⁢ ω = ω ω C 2 ⁢ n ω ω C 2 ⁢ n + 1

Linkwitz-Riley HPFのゲインは

H HPF 2 ⁡ j ⁢ ω = H HPF ⁡ j ⁢ ω 2 = ω ω C 2 ⁢ n ω ω C 2 ⁢ n + 1 = ω 2 ⁢ n ω 2 ⁢ n + ω C 2 ⁢ n

ここで Linkwitz-RileyのLPFとHPFの伝達関数の関係は

H HPF 2 ⁡ s = ω ω C 2 ⁢ n ⁢ H HPF 2 ⁡ s

s = j ⁢ ω として

H HPF 2 ⁡ j ⁢ ω = j ⁢ ω ω C 2 ⁢ n ⁢ H LPF 2 ⁡ j ⁢ ω = -1 n ⁢ ω ω C 2 ⁢ n ⁢ H LPF 2 ⁡ j ⁢ ω

4, 8, 12 … (4の倍数)次では LPFとHPFを正相で接続して

H LPF 2 ⁡ j ⁢ ω + H HPF 2 ⁡ j ⁢ ω = H LPF 2 ⁡ j ⁢ ω + H HPF 2 ⁡ j ⁢ ω = ω C 2 ⁢ n ω 2 ⁢ n + ω C 2 ⁢ n + ω 2 ⁢ n ω 2 ⁢ n + ω C 2 ⁢ n = 1

Frequency Band Scale

2, 6, 10, 14 … 次ではLPFとHPFを逆相で接続して

H LPF 2 ⁡ j ⁢ ω - H HPF 2 ⁡ j ⁢ ω = H LPF 2 ⁡ j ⁢ ω + H HPF 2 ⁡ j ⁢ ω = ω C 2 ⁢ n ω 2 ⁢ n + ω C 2 ⁢ n + ω 2 ⁢ n ω 2 ⁢ n + ω C 2 ⁢ n = 1

以上のように Linkwitz-Riley フィルタでは加算または減算(逆相で加算)により周波数特性はフラットになります。



Frequency Band Scale



fCH/fCL Ratio = 3.15

Frequency Band Scale


Linkwitz-Rileyフィルタから直線位相ディジタルフィルタへ

n+1 タップのFIRフィルタの伝達関数: H FIR ⁡ z

H FIR ⁡ z = ∑ k = 0 n b k z − k

周波数特性を求めるため z = e j ω T として

H FIR ⁡ e j ω T = ∑ k = 0 n b k e - j k ω T = ∑ k = 0 n b k cos ⁡ k ω T - j ∑ k = 0 n b k sin ⁡ k ω T

係数の順序を反転させると

H FIRrev ⁡ z = ∑ k = 0 n b n − k z − k

n サンプル時間進ませると

H FIRrev ⁡ z ⁢ z n = ∑ k = 0 n b n − k z n − k = ∑ k = 0 n b k z k

周波数特性を求めるため z = e j ω T として

∑ k = 0 n b k e j k ω T = ∑ k = 0 n b k cos ⁡ k ω T + j ∑ k = 0 n b k sin ⁡ k ω T

FIRフィルタの係数を反転した後も周波数特性(ゲイン)は変化しないことが分かります。

ここでFIRフィルタ係数順序を反転した前後のフィルタ同士の畳み込みは

= ∑ k = 0 n b k cos ⁡ k ω T - j ∑ k = 0 n b k sin ⁡ k ω T ⁢ ∑ k = 0 n b k cos ⁡ k ω T + j ∑ k = 0 n b k sin ⁡ k ω T

= ∑ k = 0 n b k cos ⁡ k ω T 2 + ∑ k = 0 n b k sin ⁡ k ω T 2

虚数項が消え直線位相(Linear Phase)フィルタになります。

ここで Linkwitz-Rileyフィルタの

  1. Butterworthフィルタの 2段縦列接続
  2. LPF と HPFの位相は、どの周波数においても完全に一致(または逆相)
  3. LPFとHPFを加算(または減算)した周波数特性は平坦

という特徴から、まずLinkwitz-Riley LPFの構成要素であるButterworth LPFをBiquadフィルタで作成し、そのインパルス応答の時系列を反転したものを係数とするFIRフィルタで畳み込みますとLinkwitz-Riley LPFと同じ振幅特性をもち直線位相(群遅延が一定)かつ1/fsの整数倍に一致するフィルタを実現できます。 (1.)

そしてこのフィルタの群遅延と同一時間ディジタル遅延させた信号からこのフィルタの信号を減算するとLinkwitz-Riley HPFと同じ振幅特性をもち群遅延がLPFと同一のフィルタも得られます。 (2.,3.)


直線位相な -12 dB/oct IIR-FIRフィルタ

TAS3108用シミュレータでIIRの一次LPFのインパルス応答をダンプして、IIRフィルタとダンプデータの時系列を反転した係数のFIRフィルタとで直線位相12 dB/octフィルタのTAS3108用コードを作成し、これを再びシミュレータにかけインパルス応答をダンプしてみました。

下の図は応答の大きさを表すY軸を対数化したものです。103 ≒ 210 (= 1024) ですから1?1E-07は、ほぼPCM24bit相当になります。

次はインパルス応答を表計算のフーリエ解析でFFT(DFT)して周波数特性を求めた結果です。HPFのインパルス応答はLPFのインパルス応答の符号を反転させ、今回のLPFの応答の中心である114サンプル目にのみに1を加え作成しました。