αフィルタ

IIRフィルタ

αフィルタ

一次LPFのインパルス応答

カットオフ周波数 $f_{C} (= \frac{ω_{C}}{2 π})$ の一次LPFの伝達関数
$H (s) = \frac{ω_{C}}{s + ω_{C}}$
をラプラス逆変換するとインパルス応答 $h (t)$ が得られます。 $h (t) = L^{-1} [\frac{ω_{C}}{s + ω_{C}}] = ω_{C} e^{- ω_{C} t}$

h (t + T) = ω_{C} e^{- ω_{C} t} e^{- ω_{C} T} = h (t) e^{- ω_{C} T}

周期 $T$ で一次LPFのインパルス応答をサンプリングしたデータ列は項比 $e^{- ω_{C} T}$ の等比数列です。

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等比数列

項比r (0 < r < 1)の等比数列第n項までの和をS_n とすると

S_{n} = a_{0} (1 + r + r^{2} + ... + r^{n-1})

S_{n} (1 - r) = a_{0} [(1 + r + r^{2} + ... + r^{n-1}) - (r + r^{2} + ... + r^{n-1} + r^{n})] = a_{0} (1 - r^{n})

S_{n} = a_{0} \frac{1 - r^{n}}{1 - r}

\lim_{n \to ∞} S_{n} = \frac{a_{0}}{1 - r}

これは等比数列による一次LPFのDCゲインに相当します。

この等比級数で一次LPFの伝達関数のインパルス応答をスケーリングし直すと以下の αフィルタが得られます。

H (z) = \frac{1 - α}{1 - α z^{-1}}

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αフィルタのカットオフ周波数

αフィルタは双一次変換によるLPFとは伝達関数が異なり双一次変換のプリワーピングの式は使えないので、伝達関数からゲイン = 1/√2 (= -3.01 dB) になるポイントを直接計算してみます。

まず以下のような w という複素数を考えます。

w = \frac{a}{c + j d}

複素数を w の絶対値の二乗を1/2とおきます。(パワーバンド)

{|w|}^{2} = w \cdot \overline{w} = \frac{a (c - j d)}{c^{2} + d^{2}} \cdot \frac{a (c + j d)}{c^{2} + d^{2}} = \frac{a^{2}}{c^{2} + d^{2}} = \frac{1}{2}

複素数 w をαフィルタの伝達関数に置き換えて

{(1 - α cos ω_{C} T)}^{2} + α^{2} \cos^{2} ω_{C} T = 2 {(1 - α)}^{2}

1 - 2 α cos ω_{C} T + α^{2} = 2 - 4 α + 2 α^{2}

α^{2} - 2 α (2 - cos ω_{C} T) + 1 = 0

この α についての二次方程式を解くと

α = 2 - cos ω_{C} T \pm \sqrt{{(2 - cos ω_{C} T)}^{2} - 1}

ここで、0 < α < 1 から

α = 2 - cos ω_{C} T - \sqrt{{(2 - cos ω_{C} T)}^{2} - 1}

下のグラフは上記の式で計算した α値に基づいた-12dB/octのリニア・フェーズ・クロスオーバー・ネットワークの特性です。
スロープが-12dB/oct(αフィルタが2段カスケード接続された特性)なので、-6dB(振幅1/2)でのクロスになっています。

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