群遅延

群遅延の数式化

ディジタル・ディレーのような単なる遅延を『むだ時間』といいます。むだ時間 t の伝達関数(ラプラス変換)は H(s) = e -ts ですが、周波数特性を得るため s = jω として

H j ω = e - j ω t = cos ω t - j sin ω t

位相をϕとすると

ϕ = tan -1 - sin ω t cos ω t = tan -1 - tan ω t = tan -1 tan - ω t = - ω t

ちなみに群遅延(group delay)は位相の角周波数による微分

- d ϕ d ω

で定義されています。マイナス符号は遅延(delay)を意味します。なお、むだ時間 e-ts の群遅延は当然ですが t になります。

下のグラフはカットオフ周波数10 kHz2次LPFのQを変化させたときの位相と群遅延を表わしていますが、このようにX軸の周波数を対数ではなくリニアで表示すると、位相特性の傾きが群遅延であるということがよく分かります。

伝達関数をH(s)
s = jω から

H j ω = g ω + j h ω

とおき

tan ϕ = h ω g ω

これをωで微分すると

d ϕ d ω = d d ϕ tan ϕ = d d ω h ω g ω

上式の右辺は

d d ω h ω g ω = h ω g ω - h ω g ω g 2 ω = h ω g ω - h ω g ω g 2 ω

左辺は

d d ϕ tan ϕ = d d ϕ sin ϕ cos ϕ = sin 2 ϕ + cos 2 ϕ cos 2 ϕ = 1 + tan 2 ϕ = 1 + h 2 ω g 2 ω

よって群遅延(group delay)は以下の式で表わせます。

- d ϕ d ω = g ω h ω - g ω h ω g 2 ω + h 2 ω
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LPFとフェーズシフタの群遅延

一次ローパス・フィルタの伝達関数は

H LPF s = ω c s + ω c

s = jω として周波数応答を求めます。

H LPF j ω = ω C ω C + j ω = ω C ω C - j ω ω C 2 + ω 2

ここで

g ω = ω C , h ω = - ω

とおくと

ここで

g ω = 0 , h ω = - 1

一次ローパス・フィルタの群遅延は

- d ϕ d ω = g ω h ω - g ω h ω g 2 ω + h 2 ω = ω C ω C 2 + ω 2

次にフェーズ・シフタの伝達関数は

H PS s = ω C - s s + ω C

同様に s = jω として周波数応答を求めます。

H PS j ω = ω C - j ω ω C + j ω = ω C - j ω 2 ω C 2 + ω 2 = ω C 2 - ω 2 - j 2 ω C ω ω C 2 + ω 2

ここで

g ω = ω C 2 - ω 2 , h ω = -2 ω C ω

とおくと

g ω = -2 ω , h ω = -2 ω C

フェーズ・シフタの群遅延は

- d ϕ d ω = g ω h ω - g ω h ω g 2 ω + h 2 ω = 4 ω C ω 2 + 2 ω C ω C 2 - ω 2 ω C 2 - ω 2 2 + 4 ω C 2 ω 2 = 2 ω C ω C 2 + ω 2

フェーズシフタの群遅延は同じfcの一次ローパス・フィルタの群遅延のちょうど2倍になります。

ただし、単に群遅延が2倍ということだけであれば ωC - jωωC - jω )2 の比較でド・モアブルの定理から位相がちょうど2倍なので、群遅延も2倍になることはすぐに分かります。

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