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群遅延

• アナログフィルタの群遅延
• ディジタルフィルタの群遅延
• Besselフィルタ

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群遅延の数式化

ディジタル・ディレーのような単なる遅延を『むだ時間』といいます。むだ時間 t の伝達関数(ラプラス変換)は H(s) = e ^-ts ですが、周波数特性を得るため s = jω として

$H\left(\mathrm{j}\omega \right)={\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega t}=\cos \omega t-\mathrm{j}\sin \omega t$

位相を$\varphi$とすると

$\varphi ={\tan }^{-1}\left(-\frac{\sin \omega t}{\cos \omega t}\right)={\tan }^{-1}\left(-\tan \omega t\right)={\tan }^{-1}\left(\tan \left(-\omega t\right)\right)=-\omega t$

ちなみに群遅延(group delay)は位相の角周波数による微分

$-\frac{d\varphi }{d\omega }$

で定義されています。マイナス符号は遅延(delay)を意味します。なお、むだ時間 e^-ts の群遅延は当然ですが t になります。

下のグラフはカットオフ周波数10 kHzの2次LPFのQを変化させたときの位相と群遅延を表わしていますが、このようにX軸の周波数を対数ではなくリニアで表示すると、位相特性の傾きが群遅延であるということがよく分かります。

伝達関数をH(s)
s = jω から

$H\left(\mathrm{j}\omega \right)=g\left(\omega \right)+\mathrm{j}h\left(\omega \right)$

とおき

$\tan \varphi =\frac{h\left(\omega \right)}{g\left(\omega \right)}$

これを$\omega$で微分すると

$\frac{d\varphi }{d\omega }=\left(\frac{d}{d\varphi }\tan \varphi \right)=\frac{d}{d\omega }\left(\frac{h\left(\omega \right)}{g\left(\omega \right)}\right)$

上式の右辺は

$\frac{d}{d\omega }\left(\frac{h\omega }{g\omega }\right)=\frac{h^{\prime }\left(\omega \right)}{g\left(\omega \right)}-\frac{h\left(\omega \right)g^{\prime }\left(\omega \right)}{g^2\left(\omega \right)}=\frac{h\left(\omega \right)g^{\prime }\left(\omega \right)-h^{\prime }\left(\omega \right)g\left(\omega \right)}{g^2\left(\omega \right)}$

左辺は

$\frac{d}{d\varphi }\tan <!--\; ?\; -->\varphi =\frac{d}{d\varphi }\left(\frac{\sin <!--\; ?\; -->\varphi }{\cos <!--\; ?\; -->\varphi }\right)=\frac{{\sin }^2<!--\; ?\; -->\varphi +{\cos }^2<!--\; ?\; -->\varphi }{{\cos }^2<!--\; ?\; -->\varphi }=1+{\tan }^2<!--\; ?\; -->\varphi =1+\frac{h^2\left(\omega \right)}{g^2\left(\omega \right)}$

よって群遅延(group delay)は以下の式で表わせます。

$-\frac{d\varphi }{d\omega }=\frac{g^{\prime }\left(\omega \right)h\left(\omega \right)-g\left(\omega \right)h^{\prime }\left(\omega \right)}{g^2\left(\omega \right)+h^2\left(\omega \right)}$

LPFとフェーズシフタの群遅延

一次ローパス・フィルタの伝達関数は

$H_{\mathit{LPF}}\left(\mathrm{s}\right)=\frac{{\omega }_c}{\mathrm{s}+{\omega }_c}$

s = jω として周波数応答を求めます。

$H_{\mathit{LPF}}\left(\mathrm{j}\omega \right)=\frac{{\omega }_C}{{\omega }_C+\mathrm{j}\omega }=\frac{{\omega }_C\left({\omega }_C-\mathrm{j}\omega \right)}{{\omega }_C^2+{\omega }^2}$

ここで

$g\left(\omega \right)={\omega }_C,h\left(\omega \right)=-\omega$

とおくと

ここで

$g\prime \left(\omega \right)=0,h\prime \left(\omega \right)=-1$

一次ローパス・フィルタの群遅延は

$-\frac{d\varphi }{d\omega }=\frac{g^{\prime }\left(\omega \right)h\left(\omega \right)-g\left(\omega \right)h^{\prime }\left(\omega \right)}{g^2\left(\omega \right)+h^2\left(\omega \right)}=\frac{{\omega }_C}{{{\omega }_C}^2+{\omega }^2}$

次にフェーズ・シフタの伝達関数は

$H_{\mathit{PS}}\left(\mathrm{s}\right)=\frac{{\omega }_C-\mathrm{s}}{\mathrm{s}+{\omega }_C}$

同様に s = jω として周波数応答を求めます。

$H_{\mathit{PS}}\left(\mathrm{j}\omega \right)=\frac{{\omega }_C-\mathrm{j}\omega }{{\omega }_C+\mathrm{j}\omega }=\frac{{\left({\omega }_C-\mathrm{j}\omega \right)}^2}{{{\omega }_C}^2+{\omega }^2}=\frac{{{\omega }_C}^2-{\omega }^2-\mathrm{j}2{\omega }_C\omega }{{{\omega }_C}^2+{\omega }^2}$

ここで

$g\left(\omega \right)={{\omega }_C}^2-{\omega }^2,h\left(\omega \right)=-2{\omega }_C\omega$

とおくと

$g\prime \left(\omega \right)=-2\omega ,h\prime \left(\omega \right)=-2{\omega }_C$

フェーズ・シフタの群遅延は

$-\frac{d\varphi }{d\omega }=\frac{g^{\prime }\left(\omega \right)h\left(\omega \right)-g\left(\omega \right)h^{\prime }\left(\omega \right)}{g^2\left(\omega \right)+h^2\left(\omega \right)}=\frac{4{\omega }_C{\omega }^2+2{\omega }_C\left({{\omega }_C}^2-{\omega }^2\right)}{{\left({{\omega }_C}^2-{\omega }^2\right)}^2+4{{\omega }_C}^2{\omega }^2}=\frac{2{\omega }_C}{{{\omega }_C}^2+{\omega }^2}$

フェーズシフタの群遅延は同じfcの一次ローパス・フィルタの群遅延のちょうど2倍になります。

ただし、単に群遅延が2倍ということだけであれば ω_C - jω と ( ω_C - jω )² の比較でド・モアブルの定理から位相がちょうど2倍なので、群遅延も2倍になることはすぐに分かります。

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