群遅延

群遅延の数式化

ディジタル・ディレーのような単なる遅延を『むだ時間』といいます。むだ時間 t の伝達関数(ラプラス変換)は H(s) = e -ts ですが、周波数特性を得るため s = jω として

H ⁡ j ω = e - j ω t = cos ⁡ ω t - j ⁢ sin ⁡ ω t

位相をϕとすると

ϕ = tan -1 ⁢ - sin ⁡ ω t cos ⁡ ω t = tan -1 ⁡ - tan ⁡ ω t = tan -1 ⁡ tan ⁡ - ω t = - ω t

ちなみに群遅延(group delay)は位相の角周波数による微分

- d ϕ d ω

で定義されています。マイナス符号は遅延(delay)を意味します。なお、むだ時間 e-ts の群遅延は当然ですが t になります。

下のグラフはカットオフ周波数10 kHzの2次LPFのQを変化させたときの位相と群遅延を表わしていますが、このようにX軸の周波数を対数ではなくリニアで表示すると、位相特性の傾きが群遅延であるということがよく分かります。

伝達関数をH(s)
s = jω から

H j ⁢ ω = g ⁡ ω + j ⁢ h ⁡ ω

とおき

tan ⁡ ϕ = h ω g ω

これをωで微分すると

d ϕ d ω = d d ϕ tan ⁡ ϕ = d d ω h ω g ω

上式の右辺は

d d ω h ω g ω = h ′ ω g ω - h ω g ′ ω g 2 ω = h ω ⁢ g ′ ω - h ′ ω ⁢ g ω g 2 ω

左辺は

d d ϕ tan ⁡ ϕ = d d ϕ sin ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ = sin 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ cos 2 ⁡ ϕ = 1 + tan 2 ⁡ ϕ = 1 + h 2 ω g 2 ω

よって群遅延(group delay)は以下の式で表わせます。

- d ϕ d ω = g ′ ω h ω - g ω h ′ ω g 2 ω + h 2 ω

LPFとフェーズシフタの群遅延

一次ローパス・フィルタの伝達関数は

H LPF s = ω c s + ω c

s = jω として周波数応答を求めます。

H LPF j ⁢ ω = ω C ω C + j ⁢ ω = ω C ⁢ ω C - j ⁢ ω ω C 2 + ω 2

ここで

g ⁡ ω = ω C , h ⁡ ω = - ω

とおくと

ここで

g ′ ⁡ ω = 0 , h ′ ⁡ ω = - 1

一次ローパス・フィルタの群遅延は

- d ϕ d ω = g ′ ω h ω - g ω h ′ ω g 2 ω + h 2 ω = ω C ω C 2 + ω 2

次にフェーズ・シフタの伝達関数は

H PS ⁡ s = ω C - s s + ω C

同様に s = jω として周波数応答を求めます。

H PS ⁡ j ⁢ ω = ω C - j ⁢ ω ω C + j ⁢ ω = ω C - j ⁢ ω 2 ω C 2 + ω 2 = ω C 2 - ω 2 - j ⁢ 2 ⁢ ω C ⁢ ω ω C 2 + ω 2

ここで

g ⁡ ω = ω C 2 - ω 2 , h ⁡ ω = -2 ⁢ ω C ⁢ ω

とおくと

g ′ ⁡ ω = -2 ⁢ ω , h ′ ⁡ ω = -2 ⁢ ω C

フェーズ・シフタの群遅延は

- d ϕ d ω = g ′ ω h ω - g ω h ′ ω g 2 ω + h 2 ω = 4 ⁢ ω C ⁢ ω 2 + 2 ⁢ ω C ⁢ ω C 2 - ω 2 ω C 2 - ω 2 2 + 4 ⁢ ω C 2 ⁢ ω 2 = 2 ⁢ ω C ω C 2 + ω 2

フェーズシフタの群遅延は同じfcの一次ローパス・フィルタの群遅延のちょうど2倍になります。

ただし、単に群遅延が2倍ということだけであれば ωC - jω と ( ωC - jω )2 の比較でド・モアブルの定理から位相がちょうど2倍なので、群遅延も2倍になることはすぐに分かります。