Butterworthフィルタ

クロスオーバ・ネットワーク

n次 Butterworth フィルタ

n次の Butterworth LPF の周波数特性は以下のとおりです。

Min. Level

Max. Frequency

Butterworthフィルタは通過帯域の振幅が最平坦なフィルタです。

n次のButterworthフィルタのゲインは

{|T_{n} (j ω)|}^{2} = \frac{1}{1 + {(\frac{ω}{ω_{0}})}^{2 n}}

$ω ≪ ω_{0}$ のとき

|T_{n} (j ω)| ≃ 1 (= 0 dB)

$ω = ω_{0}$ のとき

|T_{n} (j ω)| = \sqrt{\frac{1}{2}} (= -3.01 dB)

$ω ≫ ω_{0}$ のとき

|T_{n} (j ω)| ≃ {(\frac{ω_{0}}{ω})}^{2 n} -20 n dB/dec

絶対値の2乗(power)は共役複素数同士の掛け算で表せます。

{|T_{n} (j ω)|}^{2} = T_{n} (j ω) T_{n} (- j ω)

正規化 $ω_{0} = 1$ および $s = j ω$ から

T_{n} (j ω) T_{n} (- j ω) = \frac{1}{1 + {(\frac{s}{j})}^{2 n}} = \frac{1}{1 + {(- 1)}^{2} s^{2 n}}

Butterworth多項式

$B_{n} (j ω) B_{n} (- j ω) = 1 + {(- 1)}^{2} s^{2 n}$

Butterworth多項式(奇数次)

$B_{n} (s) = (s + 1) Π_{k = 1}^{\frac{n - 1}{2}} [s^{2} - 2 s cos (\frac{2 k + n - 1}{2 n} π) + 1]$

$\frac{1}{Q} = -2 cos (\frac{2 k + n - 1}{2 n} π)$

Butterworth多項式(偶数次)

$B_{n} (s) = Π_{k = 1}^{\frac{n}{2}} [s^{2} - 2 s cos (\frac{2 k + n - 1}{2 n} π) + 1]$

$\frac{1}{Q} = -2 cos (\frac{2 k + n - 1}{2 n} π)$

Butterworth多項式(奇数次)の極配置

Butterworth多項式(偶数次)の極配置

極(pole)は安定なs平面左側

加(減)算後の f特がフラットな 3次 Butterworth フィルタ

3次Butterworth LPFの伝達関数は

H_{L P F} (s) = \frac{{ω_{C}}^{3}}{(s + ω_{C}) (s^{2} + ω_{C} s + {ω_{C}}^{2})}

3次Butterworth HPFの伝達関数は

H_{H P F} (s) = \frac{s^{3}}{(s + ω_{C}) (s^{2} + ω_{C} s + {ω_{C}}^{2})}

LPFとHPFを加算すると

H_{LPF} (s) + H_{HPF} (s) = \frac{{ω_{C}}^{3} + s^{3}}{(s + ω_{C}) (s^{2} + ω_{C} s + {ω_{C}}^{2})} = \frac{(s + ω_{C}) (s^{2} - ω_{C} s + {ω_{C}}^{2})}{(s + ω_{C}) (s^{2} + ω_{C} s + {ω_{C}}^{2})} = \frac{s^{2} - ω_{C} s + {ω_{C}}^{2}}{s^{2} + ω_{C} s + {ω_{C}}^{2}}

これは2次のフェイズ・シフタです。

Frequency Band Scale

またLPFからHPFを減算すると

H_{LPF} (s) - H_{HPF} (s) = \frac{{ω_{C}}^{3} - s^{3}}{(s + ω_{C}) (s^{2} + ω_{C} s + {ω_{C}}^{2})} = \frac{(ω_{C} - s) (s^{2} - ω_{C} s + {ω_{C}}^{2})}{(s + ω_{C}) (s^{2} + ω_{C} s + {ω_{C}}^{2})} = \frac{ω_{C} - s}{s + ω_{C}}

こちらは1次のフェイズ・シフタです。

1 次フェイズ・シフタを付加した 3次 Butterworth の 3-Way

3次Butterworthの3-Way(以上)でも1次フィルタのときと同じように2分割づつ行うのが基本ですが、1次フィルタのときとの大きな違いは、個々のLPFとHPFを加算(減算)したときの伝達関数が1ではなくフェーズシフタになることです。フラットな周波数特性を得るには、このフェーズシフタ特性を他の帯域にも付加することが必要です。以下3-Wayでの具体的な方法です。

3-Wayスピーカ・システムのウーファとミッドレンジのクロスオーバ角周波数を ω_L ミッドレンジとトゥィータのクロスオーバ角周波数を ω_H として

ウーファ用デバイダの伝達関数をカットオフ周波数: f_C = ω_L / 2π の3次Butterworth LPFと ω_H を時定数とする1次フェイズ・シフタの縦列接続します。

H_{W} (s) = \frac{{ω_{L}}^{3}}{(s + ω_{L}) (s^{2} + ω_{L} s + {ω_{L}}^{2})} \times \frac{ω_{H} - s}{s + ω_{H}}

f_CH/f_CL Ratio = 3.15

Frequency Band Scale

ミッドレンジ用デバイダの伝達関数をカットオフ周波数: f_C = ω_L / 2π の3次Butterworth HPFとカットオフ周波数: f_C = ω_H / 2π の3次Butterworth LPFの縦列接続とします。

H_{M} (s) = \frac{s^{3}}{(s + ω_{L}) (s^{2} + ω_{L} s + {ω_{L}}^{2})} \times \frac{{ω_{H}}^{3}}{(s + ω_{H}) (s^{2} + ω_{H} s + {ω_{H}}^{2})}

トゥィータ用デバイダの伝達関数をカットオフ周波数: f_C = ω_L / 2π と f_C = ω_H / 2π の3次Butterworth HPFの縦列接続とします。

H_{T} (s) = \frac{s^{3}}{(s + ω_{L}) (s^{2} + ω_{L} s + {ω_{L}}^{2})} \times \frac{s^{3}}{(s + ω_{H}) (s^{2} + ω_{H} s + {ω_{H}}^{2})}

これらをミッドレンジのみを逆相にして加算すると

H_{W} (s) - H_{M} (s) + H_{T} (s) = \frac{{ω_{L}}^{3} - s^{3}}{(s + ω_{L}) (s^{2} + ω_{L} s + {ω_{L}}^{2})} \times \frac{ω_{H} - s}{s + ω_{H}} = \frac{ω_{L} - s}{s + ω_{L}} \times \frac{ω_{H} - s}{s + ω_{H}}

各クロスオーバ周波数を時定数とした1次フェイズ・シフタの縦列接続なので周波数特性はフラットになります。

1?4 の手順をまとめると、まずウーファとミッドレンジの分割をし、次にハイパス側をミッドレンジとトゥィータに分割します。もう一方のローパス(ウーファ)側にはミッドレンジとトゥィータに分割に相当する時定数のフェーズシフタを付加して完了です。

もちろん最初にミッドレンジとトゥィータに分割して、最後にハイパス(トゥィータ)側にウーファとミッドレンジの分割に相当する時定数のフェーズシフタを付加してもOKです。

2次フェイズ・シフタを付加した 3次 Butterworth の 3-Way

1次フェイズシフタの代わりに2次フェイズシフタを付加するとすべてのユニットを正相で接続できます。

ウーファ用デバイダの伝達関数をカットオフ周波数: f_C = ω_L / 2π の3次Butterworth LPFと ω_H を時定数とする2次フェイズ・シフタの縦列接続とすると

H_{W} (s) = \frac{{ω_{L}}^{3}}{(s + ω_{L}) (s^{2} + ω_{L} s + {ω_{L}}^{2})} \times \frac{s^{2} - ω_{H} s + {ω_{H}}^{2}}{s^{2} + ω_{H} s + {ω_{H}}^{2}}

f_CH/f_CL Ratio = 3.15

Frequency Band Scale

ミッドレンジ用デバイダの伝達関数をカットオフ周波数: f_C = ω_L / 2π の3次Butterworth HPFとカットオフ周波数: f_C = ω_H / 2π の3次Butterworth LPFの縦列接続とすると

H_{M} (s) = \frac{s^{3}}{(s + ω_{L}) (s^{2} + ω_{L} s + {ω_{L}}^{2})} \times \frac{{ω_{H}}^{3}}{(s + ω_{H}) (s^{2} + ω_{H} s + {ω_{H}}^{2})}

トゥィータ用デバイダの伝達関数をカットオフ周波数: f_C = ω_L / 2π と f_C = ω_H / 2π の3次Butterworth HPFの縦列接続とすると

H_{T} (s) = \frac{s^{3}}{(s + ω_{L}) (s^{2} + ω_{L} s + {ω_{L}}^{2})} \times \frac{s^{3}}{(s + ω_{H}) (s^{2} + ω_{H} s + {ω_{H}}^{2})}

生成したウーファ、ミッドレンジ、トゥィータ用すべての信号を正相で加算すると

\begin{array}{l} H_{W} (s) + H_{M} (s) + H_{T} (s) & = \frac{{ω_{L}}^{3} + s^{3}}{(s + ω_{L}) (s^{2} + ω_{L} s + {ω_{L}}^{2})} \times \frac{s^{2} - ω_{H} s + {ω_{H}}^{2}}{s^{2} + ω_{H} s + {ω_{H}}^{2}} \\ = \frac{s^{2} - ω_{L} s + {ω_{L}}^{2}}{s^{2} + ω_{L} s + {ω_{L}}^{2}} \times \frac{s^{2} - ω_{H} s + {ω_{H}}^{2}}{s^{2} + ω_{H} s + {ω_{H}}^{2}} \end{array}

各クロスオーバ周波数を時定数とした 2次フェーズシフタの縦列接続なので周波数特性はフラットになります。

2次フェーズシフタの構成

ここでの問題なるのはアナログのチャンネル・デバイダにおいて 2次のフェーズシフタをどのように構成するか^*1ですが、ディジタル(IIR)フィルタならbiquadフィルタ 1個で実現可能です。

**フィルタ種別とDirect FormⅠ Biquad Filter係数**
フィルタ種別	分母(Pole)	a₁	a₂	分子(Zero)	b₀	b₁	b₂
1次LPF	$s + ω_{C}$	$a_{1}$	$0$	$ω_{C}$	$b_{0}$	$b_{0}$	$0$
1次HPF	$s + ω_{C}$	$a_{1}$	$0$	$s$	$b_{0}$	$- b_{0}$	$0$
2次LPF	$s^{2} + (\frac{ω_{C}}{Q}) s + {ω_{C}}^{2}$	$a_{1}$	$a_{2}$	${ω_{C}}^{2}$	$b_{0}$	$2 b_{0}$	$b_{0}$
BPF	$s^{2} + (\frac{ω_{C}}{Q}) s + {ω_{C}}^{2}$	$a_{1}$	$a_{2}$	$(\frac{ω_{C}}{Q}) s$	$b_{0}$	$0$	$- b_{0}$
2次HPF	$s^{2} + (\frac{ω_{C}}{Q}) s + {ω_{C}}^{2}$	$a_{1}$	$a_{2}$	$s^{2}$	$b_{0}$	$-2 b_{0}$	$b_{0}$
Notch	$s^{2} + (\frac{ω_{C}}{Q}) s + {ω_{C}}^{2}$	$a_{1}$	$a_{2}$	$s^{2} + {ω_{C}}^{2}$	$b_{0}$	$- a_{1}$	$b_{0}$
2次Phase Shift	$s^{2} + (\frac{ω_{C}}{Q}) s + {ω_{C}}^{2}$	$a_{1}$	$a_{2}$	$s^{2} - (\frac{ω_{C}}{Q}) s + {ω_{C}}^{2}$	$- a_{2}$	$- a_{1}$	$1$

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