IIRフィルタ

• αフィルタ
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• 双一次変換と周波数歪
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• Biquadフィルタ
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• Biquadフィルタ周波数特性

Biquadフィルタ

1st Oder Low Pass Filter

アナログ・ドメインでの伝達関数は

$H_{\mathit{LPF1}}\left(\mathrm{s}\right)=\frac{{\omega }_C}{\mathrm{s}+{\omega }_C}$

アナログ・ドメインでの周波数特性は

双一次変換によるディジタル・ドメインの伝達関数は

$\begin{array}{lll}{H}_{\mathit{BQLPF}}\left(\mathrm{z}\right)& =& \frac{{\Omega }_C}{\frac{2\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}{T\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}+{\Omega }_C}\\ & =& \frac{{\Omega }_{C}T\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}{2\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)+{\Omega }_{C}T\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}\\ & =& \frac{{\Omega }_{C}T\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}{{\Omega }_{C}T+2+\left({\Omega }_{C}T-2\right){\mathrm{z}}^{-1}}\\ & =& \frac{\frac{{\Omega }_{C}T}{{\Omega }_{C}T+2}\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}{1-\frac{2-{\Omega }_{C}T}{{\Omega }_{C}T+2}{\mathrm{z}}^{-1}}\end{array}$

1st Oder High Pass Filter

アナログ・ドメインでの伝達関数は

$H_{\mathit{HPF1}}\left(\mathrm{s}\right)=\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{s}+{\omega }_C}$

アナログ・ドメインでの周波数特性は

双一次変換によるディジタル・ドメインの伝達関数は

$\begin{array}{ll}{H}_{\mathit{BQHPF}}\left(\mathrm{z}\right)& =\frac{\frac{2\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}{T\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}}{\frac{2\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}{T\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}+{\Omega }_C}\\ & =& \frac{2\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}{2\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)+{\Omega }_{C}T\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}\\ & =& \frac{2\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}{{\Omega }_{C}T+2+\left({\Omega }_{C}T-2\right){\mathrm{z}}^{-1}}\\ & =& \frac{\frac{2}{{\Omega }_{C}T+2}\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}{1-\frac{2-{\Omega }_{C}T}{{\Omega }_{C}T+2}{\mathrm{z}}^{-1}}\end{array}$

2nd Oder Low Pass Filter

アナログ・ドメインでの伝達関数は

$H_{\mathit{LPF2}}\left(\mathrm{s}\right)=\frac{{{\omega }_C}^2}{{\mathrm{s}}^2+\left(\frac{{\omega }_C}{Q}\right)\mathrm{s}+{{\omega }_C}^2}$

アナログ・ドメインでの周波数特性は

双一次変換によるディジタル・ドメインの伝達関数は

$\begin{array}{lll}{H}_{\mathit{BQLPF2}}\left(\mathrm{z}\right)& =& \frac{{{\Omega }_C}^2}{{\left[\frac{2\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}{T\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}\right]}^2+\frac{{\Omega }_C}{Q}\times \frac{2\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}{T\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}+{{\Omega }_C}^2}\\ & =& \frac{{{\Omega }_C}^2{T}^2{\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2}{4{\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2+\frac{{\Omega }_C}{Q}\times 2T\left(1-{\mathrm{z}}^{-2}\right)+{{\Omega }_C}^2{T}^2{\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2}\\ & =& \frac{{{\Omega }_C}^2{T}^2\left(1+2{\mathrm{z}}^{-1}+{\mathrm{z}}^{-2}\right)}{4{\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2+\frac{{\Omega }_C}{Q}\times 2T\left(1-{\mathrm{z}}^{-2}\right)+{{\Omega }_C}^2{T}^2{\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2}\\ & =& \frac{{{\Omega }_C}^2{T}^2\left(1+2{\mathrm{z}}^{-1}+{\mathrm{z}}^{-2}\right)}{4+2T\times \frac{{\Omega }_C}{Q}+{{\Omega }_C}^2{T}^2+\left(-8+2{{\Omega }_C}^2{T}^2\right){\mathrm{z}}^{-1}+\left(4-2T\times \frac{{\Omega }_C}{Q}+{{\Omega }_C}^2{T}^2\right){\mathrm{z}}^{-2}}\end{array}$

プリワーピング ${\Omega }_C=\frac{2\tan \left(\frac{{\omega }_{C}T}{2}\right)}{T}$ を適用して

${{\Omega }_C}^2{T}^2=4\frac{{\sin }^2\left(\frac{{\omega }_{C}T}{2}\right)}{{\cos }^2\left(\frac{{\omega }_{C}T}{2}\right)}=\frac{2}{1+\cos \left({\omega }_{C}T\right)}\times \frac{1-\cos \left({\omega }_{C}T\right)}{2}$

$\begin{array}{lll}4+\frac{2{\Omega }_{C}T}{Q}+{{\Omega }_C}^2{T}^2& =& \frac{2}{1+\cos \left({\omega }_{C}T\right)}\left[\frac{1+\cos \left({\omega }_{C}T\right)}{2}+\frac{\sin \left(\frac{{\omega }_{C}T}{2}\right)\cos \left(\frac{{\omega }_{C}T}{2}\right)}{Q}+\frac{1-\cos \left({\omega }_{C}T\right)}{2}\right]\\ & =& \frac{2}{1+\cos \left({\omega }_{C}T\right)}\left[1+\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\right]\end{array}$

$\begin{array}{lll}-8+2{{\Omega }_C}^2{T}^2& =& \frac{2}{1+\cos \left({\omega }_{C}T\right)}\left[-2\times \frac{1+\cos \left({\omega }_{C}T\right)}{2}+1-\cos \left({\omega }_{C}T\right)\right]\\ & =& \frac{2}{1+\cos \left({\omega }_{C}T\right)}\left[-2\cos \left({\omega }_{C}T\right)\right]\end{array}$

$H_{\mathit{BQLPF2}}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\frac{1-\cos \left({\omega }_{C}T\right)}{2}\left(1+2{\mathrm{z}}^{-1}+{\mathrm{z}}^{-2}\right)}{\left[1+\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\right]-2\cos \left({\omega }_{C}T\right){\mathrm{z}}^{-1}+\left[1-\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\right]{\mathrm{z}}^{-2}}$

2nd Oder High Pass Filter

アナログ・ドメインでの伝達関数は

$H_{\mathit{HPF2}}\left(\mathrm{s}\right)=\frac{{\mathrm{s}}^2}{{\mathrm{s}}^2+\left(\frac{{\omega }_C}{Q}\right)\mathrm{s}+{{\omega }_C}^2}$

アナログ・ドメインでの周波数特性は

双一次変換によるディジタル・ドメインの伝達関数は

$\begin{array}{lll}{H}_{\mathit{BQHPF2}}\left(\mathrm{z}\right)& =& \frac{{\left[\frac{2\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}{T\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}\right]}^2}{{\left[\frac{2\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}{T\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}\right]}^2+\frac{{\Omega }_C}{Q}\times \frac{2\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}{T\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}+{{\Omega }_C}^2}\\ & =& \frac{4{\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2}{4{\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2+\frac{{\Omega }_C}{Q}\times 2T\left(1-{\mathrm{z}}^{-2}\right)+{{\Omega }_C}^2{T}^2{\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2}\\ & =& \frac{4\left(1-2{\mathrm{z}}^{-1}+{\mathrm{z}}^{-2}\right)}{4+2T\times \frac{{\Omega }_C}{Q}+{{\Omega }_C}^2{T}^2+\left(-8+2{{\Omega }_C}^2{T}^2\right){\mathrm{z}}^{-1}+\left(4-2T\times \frac{{\Omega }_C}{Q}+{{\Omega }_C}^2{T}^2\right){\mathrm{z}}^{-2}}\end{array}$

プリワーピング ${\Omega }_C=\frac{2\tan \left(\frac{{\omega }_{C}T}{2}\right)}{T}$ を適用して

$H_{\mathit{BQHPF2}}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\frac{1+\cos \left({\omega }_{C}T\right)}{2}\left(1-2{\mathrm{z}}^{-1}+{\mathrm{z}}^{-2}\right)}{\left[1+\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\right]-2\cos \left({\omega }_{C}T\right){\mathrm{z}}^{-1}+\left[1-\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\right]{\mathrm{z}}^{-2}}$

1st Oder PHASE Shifter

アナログ・ドメインでの伝達関数は

$H_{\mathit{LPF}}\left(\mathrm{s}\right)-\left(1-H_{LPF}\left(\mathrm{s}\right)\right)=2H_{\mathit{LPF}}\left(\mathrm{s}\right)-1=\frac{2{\omega }_C}{{\omega }_C+\mathrm{s}}-1=\frac{{\omega }_C-\mathrm{s}}{{\omega }_C+\mathrm{s}}\left(=H_{\mathit{PS1}}\left(\mathrm{s}\right)\right)$

アナログ・ドメインでの周波数特性は

双一次変換によるディジタル・ドメインの伝達関数は

$H_{\mathit{BQPS1}}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{{\Omega }_C-\frac{2\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}{T\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}}{{\Omega }_C+\frac{2\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}{T\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}}=\frac{{\Omega }_{C}T-2+\left({\Omega }_{C}T+2\right){\mathrm{z}}^{-1}}{{\Omega }_{C}T+2+\left({\Omega }_{C}T-2\right){\mathrm{z}}^{-1}}=\frac{\frac{{\Omega }_{C}T-2}{{\Omega }_{C}T+2}+{\mathrm{z}}^{-1}}{1+\frac{{\Omega }_{C}T-2}{{\Omega }_{C}T+2}{\mathrm{z}}^{-1}}$

2nd Oder PHASE Shifter

アナログ・ドメインでの伝達関数は

$H_{\mathit{PS2}}\left(\mathrm{s}\right)=\frac{{\mathrm{s}}^2-\left(\frac{{\omega }_C}{Q}\right)\mathrm{s}+{{\omega }_C}^2}{{\mathrm{s}}^2+\left(\frac{{\omega }_C}{Q}\right)\mathrm{s}+{{\omega }_C}^2}$

アナログ・ドメインでの周波数特性は

双一次変換によるディジタル・ドメインの伝達関数は

$$ \begin{array}{lll}{H}_{\mathit{BQPS2}}\left(\mathrm{z}\right)& =& \frac{4{\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2-\frac{{\Omega }_C}{Q}\times 2T\left(1-{\mathrm{z}}^{-2}\right)+{{\Omega }_C}^2{T}^2{\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2}{4{\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2+\frac{{\Omega }_C}{Q}\times 2T\left(1-{\mathrm{z}}^{-2}\right)+{{\Omega }_C}^2{T}^2{\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2}\\ & =& \frac{4-2T\times \frac{{\Omega }_C}{Q}+{{\Omega }_C}^2{T}^2+\left(-8+2{{\Omega }_C}^2{T}^2\right){\mathrm{z}}^{-1}+\left(4+2T\times \frac{{\Omega }_C}{Q}+{{\Omega }_C}^2{T}^2\right){\mathrm{z}}^{-2}}{4+2T\times \frac{{\Omega }_C}{Q}+{{\Omega }_C}^2{T}^2+\left(-8+2{{\Omega }_C}^2{T}^2\right){\mathrm{z}}^{-1}+\left(4-2T\times \frac{{\Omega }_C}{Q}+{{\Omega }_C}^2{T}^2\right){\mathrm{z}}^{-2}}\end{array}$$

プリワーピング ${\Omega }_C=\frac{2\tan \left(\frac{{\omega }_{C}T}{2}\right)}{T}$ を適用して

$H_{\mathit{BQPS2}}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\left[1-\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\right]-2\cos \left({\omega }_{C}T\right){\mathrm{z}}^{-1}+\left[1+\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\right]{\mathrm{z}}^{-2}}{\left[1+\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\right]-2\cos \left({\omega }_{C}T\right){\mathrm{z}}^{-1}+\left[1-\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\right]{\mathrm{z}}^{-2}}$

Notch Filter

アナログ・ドメインでの伝達関数は

$H_{\mathit{NOTCH}}\left(\mathrm{s}\right)=\frac{{\mathrm{s}}^2+{{\omega }_C}^2}{{\mathrm{s}}^2+\left(\frac{{\omega }_C}{Q}\right)\mathrm{s}+{{\omega }_C}^2}$

アナログ・ドメインでの周波数特性は

双一次変換によるディジタル・ドメインの伝達関数は

$\begin{array}{lll}{H}_{\mathit{BQNOTCH}}\left(\mathrm{z}\right)& =& \frac{4{\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2+{{\Omega }_C}^2{T}^2{\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2}{4{\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2+\frac{{\Omega }_C}{Q}\times 2T\left(1-{\mathrm{z}}^{-2}\right)+{{\Omega }_C}^2{T}^2{\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2}\\ & =& \frac{4+{{\Omega }_C}^2{T}^2+\left(-8+2{{\Omega }_C}^2{T}^2\right){\mathrm{z}}^{-1}+\left(4+{{\Omega }_C}^2{T}^2\right){\mathrm{z}}^{-2}}{4+2T\times \frac{{\Omega }_C}{Q}+{{\Omega }_C}^2{T}^2+\left(-8+2{{\Omega }_C}^2{T}^2\right){\mathrm{z}}^{-1}+\left(4-2T\times \frac{{\Omega }_C}{Q}+{{\Omega }_C}^2{T}^2\right){\mathrm{z}}^{-2}}\end{array}$

プリワーピング ${\Omega }_C=\frac{2\tan \left(\frac{{\omega }_{C}T}{2}\right)}{T}$ を適用して

$H_{\mathit{BQNOTCH}}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{1-2\cos \left({\omega }_{C}T\right){\mathrm{z}}^{-1}+{\mathrm{z}}^{-2}}{\left[1+\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\right]-2\cos \left({\omega }_{C}T\right){\mathrm{z}}^{-1}+\left[1-\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\right]{\mathrm{z}}^{-2}}$

Band Pass Filter

アナログ・ドメインでの伝達関数は

$H_{\mathit{BPF}}\left(\mathrm{s}\right)=\frac{\left(\frac{{\omega }_C}{Q}\right)\mathrm{s}}{{\mathrm{s}}^2+\left(\frac{{\omega }_C}{Q}\right)\mathrm{s}+{{\omega }_C}^2}$

アナログ・ドメインでの周波数特性は

双一次変換によるディジタル・ドメインの伝達関数は

$\begin{array}{lll}{H}_{\mathit{BQBPF}}\left(\mathrm{z}\right)& =& \frac{\frac{{\Omega }_C}{Q}\times 2T\left(1-{\mathrm{z}}^{-2}\right)}{4{\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2+\frac{{\Omega }_C}{Q}\times 2T\left(1-{\mathrm{z}}^{-2}\right)+{{\Omega }_C}^2{T}^2{\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2}\\ & =& \frac{\frac{{\Omega }_C}{Q}\times 2T\left(1-{\mathrm{z}}^{-2}\right)}{4+2T\times \frac{{\Omega }_C}{Q}+{{\Omega }_C}^2{T}^2+\left(-8+2{{\Omega }_C}^2{T}^2\right){\mathrm{z}}^{-1}+\left(4-2T\times \frac{{\Omega }_C}{Q}+{{\Omega }_C}^2{T}^2\right){\mathrm{z}}^{-2}}\end{array}$

プリワーピング ${\Omega }_C=\frac{2\tan \left(\frac{{\omega }_{C}T}{2}\right)}{T}$ を適用して

$H_{\mathit{BQBPF}}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\left(1-{\mathrm{z}}^{-2}\right)}{\left[1+\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\right]-2\cos \left({\omega }_{C}T\right){\mathrm{z}}^{-1}+\left[1-\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\right]{\mathrm{z}}^{-2}}$

Parametric Equalizer Filter

アナログ・ドメインでの伝達関数は

$H_{\mathit{BPF}}\left(\mathrm{s}\right)=\frac{\left(\frac{{\omega }_C}{Q}\right)\mathrm{s}}{{\mathrm{s}}^2+\left(\frac{{\omega }_C}{Q}\right)\mathrm{s}+{{\omega }_C}^2}$

アナログ・ドメインでの周波数特性は

双一次変換によるディジタル・ドメインの伝達関数は

$\begin{array}{lll}{H}_{\mathit{BQBPF}}\left(\mathrm{z}\right)& =& \frac{\frac{{\Omega }_C}{Q}\times 2T\left(1-{\mathrm{z}}^{-2}\right)}{4{\left(1-{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2+\frac{{\Omega }_C}{Q}\times 2T\left(1-{\mathrm{z}}^{-2}\right)+{{\Omega }_C}^2{T}^2{\left(1+{\mathrm{z}}^{-1}\right)}^2}\\ & =& \frac{\frac{{\Omega }_C}{Q}\times 2T\left(1-{\mathrm{z}}^{-2}\right)}{4+2T\times \frac{{\Omega }_C}{Q}+{{\Omega }_C}^2{T}^2+\left(-8+2{{\Omega }_C}^2{T}^2\right){\mathrm{z}}^{-1}+\left(4-2T\times \frac{{\Omega }_C}{Q}+{{\Omega }_C}^2{T}^2\right){\mathrm{z}}^{-2}}\end{array}$

プリワーピング ${\Omega }_C=\frac{2\tan \left(\frac{{\omega }_{C}T}{2}\right)}{T}$ を適用して

$H_{\mathit{BQBPF}}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\left(1-{\mathrm{z}}^{-2}\right)}{\left[1+\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\right]-2\cos \left({\omega }_{C}T\right){\mathrm{z}}^{-1}+\left[1-\frac{\sin \left({\omega }_{C}T\right)}{2Q}\right]{\mathrm{z}}^{-2}}$