群遅延

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• ディジタルフィルタの群遅延
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• Besselフィルタ

ディジタルフィルタの群遅延

FIRフィルタの群遅延

n + 1タップのFIRフィルタの伝達関数

から周波数特性を求めるため z = e ^jωTとして

アナログフィルタの群遅延を求めたときと同じく

とおき、微分して

n + 1タップのFIRフィルタの群遅延は

$-\frac{d\varphi }{d\omega }=\frac{{\displaystyle (\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_{k}k\sin k\omega T){\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle (\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_k\sin k\omega T)}+(\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_k\cos k\omega T)}(\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{b}_{k}k\cos k\omega T)}}}{{\displaystyle (\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}}{\displaystyle {{\displaystyle b_k\cos k\omega T)}}^2+(\underset{k=0}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{{\displaystyle b_k\sin k\omega T)}}^2}}T$

IIRの群遅延

IIRフィルタの伝達関数

$H(z)=\frac{1}{1-a_1{z}^{-1}-a_2{z}^{-2}}$

を z = e ^jωTとして

$\begin{array}{ll}H({\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\omega T})& =\frac{1}{1-a_1{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\omega T}-a_2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}2\omega T}}\\ & =\frac{1}{1-a_1\cos \omega T-a_2\cos 2\omega T+j(a_1\sin \omega T-a_2\sin 2\omega T)}\\ & =\frac{1-a_1\cos \omega T-a_2\cos 2\omega T-j(a_1\sin \omega T-a_2\sin 2\omega T)}{(1-a{}_1\cos \omega T-a_2\cos 2\omega T{)}^2+(a_1\sin \omega T-a_2\sin 2\omega T{)}^2}\end{array}$

ここで同様に

$g(\omega )=1-a_1\cos \omega T-a_2\cos 2\omega T$

$h(\omega )=a_1\sin \omega T-a_2\sin 2\omega T$

とおき、微分して

$g^{\prime }(\omega )=(a_1\cos \omega T+2a_2\cos 2\omega T)T$

$h^{\prime }(\omega )=-(a_1\sin \omega T-+2a_2\sin 2\omega T)T$

$g^{\prime }(\omega )h(\omega )=(-a_1^2{\sin }^2\omega T-3a_1{a}_2\sin \omega T\sin 2\omega T-2a_2^2{\sin }^{2}2\omega T)T$

$\phantom{=}g(\omega )h^{\prime }(\omega )$
$=-(a_1\cos \omega T+2a_2\cos \omega T-a_1^2\cos \omega T-2a_2^2{\cos }^{2}2\omega T-3a_1{a}_2\cos \omega T\cos 2\omega T)T$

IIRフィルタの群遅延は

$\begin{array}{lll}-\frac{d\varphi }{d\omega }& =& \frac{a_1\cos \omega T+2a_2\cos 2\omega T-{a_1}^2-2{a_2}^2-3a_1{a}_2\cos \omega T}{{\left(1-a_1\cos \omega T-a_2\cos 2\omega T\right)}^2+{\left(a_1\sin \omega T+a_2\sin 2\omega T\right)}^2}T\\ & =& \frac{-a_1^2-2a_2^2-a_1(3a_2-1)\cos \omega T+2a_2\cos 2\omega T}{1+a_1^2+a_2^2+2a_1(a_2-1)\cos \omega T-2a_2\cos 2\omega T}T\end{array}$

Biquadフィルタの群遅延

$H(z)=\frac{b_0+b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}}{1-a_1{z}^{-1}-a_2{z}^{-2}}$

Biquadフィルタの群遅延はFIRの群遅延の式(n = 2)とIIRの群遅延を加算したものです。

n = 2のときのFIRの群遅延は

$\phantom{=}\frac{{\displaystyle (\sum _{k=0}^2{b}_{k}k\sin k\omega T){\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle (\sum _{k=0}^2{b}_k\sin k\omega T)}+(\sum _{k=0}^2{b}_k\cos k\omega T)}(\sum _{k=0}^2{b}_{k}k\cos k\omega T)}}}{{\displaystyle (\underset{k=0}{\overset{2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}}{\displaystyle {{\displaystyle b_k\cos k\omega T)}}^2+(\underset{k=0}{\overset{2}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{{\displaystyle b_k\sin k\omega T)}}^2}}T$

$=\frac{(b_1\sin \omega T+2b_2\sin 2\omega T)(b_1\sin \omega T+b_2\sin 2\omega T)+(b_0+b_1\cos \omega T+b_2\cos 2\omega T)(b_1\cos \omega T+2b_2\cos 2\omega T)}{(b_0+b_1\cos \omega T+b_2\cos 2\omega T{)}^2+(b_1\sin \omega T+b_2\sin 2\omega T{)}^2}T$

$=\frac{b_1^2+2b_2^2+(b_0+3b_2)b_1\cos \omega T+2b_0{b}_2\cos 2\omega T}{b_0^2+b_1^2+b_2^2+2(b_0+b_2)b_1\cos \omega T+2b_0{b}_2\cos 2\omega T}T$

よってBiquadフィルタの群遅延は次の式により求められます。

$(\frac{-a_1^2-2a_2^2-a_1(3a_2-1)\cos \omega T+2a_2\cos 2\omega T}{1+a_1^2+a_2^2+2a_1(a_2-1)\cos \omega T-2a_2\cos 2\omega T}+\frac{b_1^2+2b_2^2+(b_0+3b_2)b_1\cos \omega T+2b_0{b}_2\cos 2\omega T}{b_0^2+b_1^2+b_2^2+2(b_0+b_2)b_1\cos \omega T+2b_0{b}_2\cos 2\omega T})T$