複素数平面
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ヒトは、これまで、必要に応じて、その都度「数」を生みだしてきました。 リンゴを１個、２個、３個、・・・と数えるときに「自然数」を使います。 １個のリンゴを半分ずつにした場合、それぞれは 1/2 個になり、ここに「分数」が登場します。 正方形の対角線の長さを表現するのに「無理数」を考えました。 ある基準を設定し、それを下回る状況が出た時は「負の数」で対処します。 ここまでの数で、１次元である数直線上のすべての点を数で表現できるようになりました。 ２次元平面上のすべての点を数で表現するにはどうしたら良いでしょう？ そこで考え出されたのが「複素数」です。  学ぶ項目を、ステップを細かく分けて一覧にしました。 「この項目は大丈夫だな。」と思うものは飛ばしてもらって結構です。 自分に必要な項目だけを学べば良いでしょう。 カッコ内は、文部科学省の学習指導要領に従った、目安となる履修学年です。 【実数】・・・実数は、１次元の数直線を目盛る数です。 （０１）自然数（小１）〜（小３）・・・リンゴを１個、２個、３個、・・・と数えるときに使います。 （０２）整数（中１）・・・自然数（正の整数）、０（ゼロ）、負の整数を合わせたものです。 （０３）有理数（中１）・・・整数と分数を合わせたものです。 （０４）実数（高１）・・・有理数と無理数を合わせたものです。 （０５）１次元を目盛る数（高２）・・・実数が、１次元を目盛る数であることを意識します。 【複素数】・・・２次元の平面を目盛る数が複素数（二元数）です。 （０６）−１を掛ける（高２）・・・１８０度回転させる操作であることを意識します。 （０７）２次元平面上の位置（高２）・・・直交する２本の数直線を使えば表せることを意識します。 （０８）２本目の数直線（高２）・・・９０度回転させる操作を意味する“新しい要素”を考えます。 （０９）複素数（高２）・・・“複数の要素からなる数”すなわち「二元数」という意識を持ちます。 （１０）複素数の四則演算（高２）・・・“新しい要素（虚数単位）”の２乗は「ー１」になります！ （１１）複素数の絶対値（高２）・・・実数の絶対値と同じ定義で、「原点からの距離」です。 （１２）共役複素数（高２）・・・その存在意義について考えます。 【複素数平面】・・・横軸を「実軸」、縦軸を「虚軸」にした座標平面です。 （※）事前に、「極座標」について学んでおくと良いです。 → こちら （１３）実軸（高３）・・・複素数の実部を表します。 （１４）虚軸（高３）・・・複素数の虚部を表します。 （１５）複素数の極形式（高３）・・・「極座標」の考え方を導入します。 （１６）積の極形式（高３）・・・絶対値は“掛ける”、偏角は“加える”です。 （１７）商の極形式（高３）・・・絶対地は“割る”、偏角は“引く”です。 （１８）複素数の累乗（高３）・・・「ド・モアブルの定理」を利用します。 （１９）ド・モアブルの定理（高３）・・・ｎ乗の絶対値は絶対値のｎ乗、ｎ乗の偏角は偏角のｎ倍です。 （２０）１のｎ乗根（高３）・・・単位円の円周のｎ等分点になります。 （※）“１次元の直線を目盛る数”が「実数」で、 “２次元の平面を目盛る数”が「複素数」でした。 “３次元の空間を目盛る数”は、あるのでしょうか？・・・あります。「四元数」です。 → こちら 「球の表面積」に戻る |
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