球の表面積
|
|
小学校の算数で、（円の面積）＝（円周率）×（半径）×（半径）という公式を教わりますが、 なぜ、この公式で円の面積が求まるのか、その当時はスルーしています。 円を細かく刻んで互い違いに並べていくと、“縦が半径、横が円周の半分の長方形のようなもの”になるから、 この公式で大丈夫である・・・という説明は受けますが、 これは、あくまでイメージであって、証明ではないので、いまいちスッキリせず、モヤモヤ感が残ります。 中学校の数学で教わる「円錐の体積の公式」や「球の体積の公式」にしても同様でして、 なぜ円柱の1/3が円錐になるのか、球の体積で4/3はどこから来たのか、やはり腑に落ちません。 その気持ちをスッキリさせましょう！  円柱の体積は、底面である「円」の面積（底面積）に（高さ）を掛ければ、求めることができます。 円錐の体積は、（円柱の体積）×（ 1/3 ）でして、掛ける数は 1/2 や 1/4 ではありません。 どうして「 1/3 」なのでしょうか？ 球の体積の公式も不思議です。 「体積」だから、単位が「長さ」の３乗になります。 したがって、半径を３乗することは想像できます。 また、「球」なので、円周率を用いることも、受け入れられるでしょう。 しかし、なぜ「 4/3 」を掛けるのか、謎です。 「円柱の体積の公式」に出てくる「 1/3 」や、「球の体積の公式」に出てくる「 4/3 」は、 高校数学「数学Ⅲ」で「積分法の応用」を学ぶと理解できます。 → こちら ところで、先ほど、円錐の体積を考える時に、円柱の体積から入りました。 そして、円柱の体積を求める時に、底面積である「円の面積」を用いました。 「円の面積の公式」は、小学６年生で知ることになるのですが、 実は、この公式を導出できるようになるのは、高校数学の終盤戦です。 円錐の体積の公式に必要な前提が、円錐の体積の公式よりもレベルの高い内容だったなんて・・・。 「三角関数の導関数」「置換積分法」が分かれば解決します。 → こちら 中学１年生のときに、「円錐の体積」や「球の体積」と同じタイミングで登場する「球の表面積」の公式。 実は、高校数学でも解決しない“最強に謎な公式”です。 事前に、 ①「重積分（２変数関数の積分）」について学んでおきましょう！ → こちら ②「行列」についても、併せて、学んでおきましょう！ → こちら では、いよいよ「球の表面積の公式」を導き出してみましょう！ 「塾での授業」に戻る |
|
|