オイラーの公式
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高校数学で「三角関数」と「指数関数」について学びますが、 この時点では、それぞれ“別々のもの”という感じです。 「オイラーの公式」は、これら２つを結びつけるもので、「テイラーの定理」が引き金になっています。 ただし、指数に複素数が出てくるあたりがちょっと変わってますがね。 指数の拡張は高校数学でも行いますが、有理数までの拡張は良いとして、 実数への拡張は、ちょっと怪しさを感じます。 ここで、指数を実数および複素数にまで拡張することも一緒に見ておきましょう！  学ぶ項目を、ステップを細かく分けて一覧にしました。 「この項目は大丈夫だな。」と思うものは飛ばしてもらって結構です。 自分に必要な項目だけを学べば良いでしょう。 カッコ内は、文部科学省の学習指導要領に従った、目安となる履修学年です。 【指数の拡張（その１）】・・・まずは、有理数にまで拡張します。 （０１）指数（中１）・・・「an」において、ａを「底」、ｎを「指数」と言います。 （０２）指数法則（中１）・・・「底の掛け算」は「指数の足し算」です。 （０３）指数の拡張（その１）（高２）・・・指数を、自然数から整数へ拡張します。 （０４）指数の拡張（その２）（高２）・・・指数を、整数から有理数へ拡張します。 【指数の拡張（その２）】・・・次に、実数にまで拡張します。 （※）事前に、「積分法」について学んでおくと良いです。→ こちら （０５）実数の連続性・・・「デデキントの公理」とも言います（こちらを参照）。 （０６）連続関数・・・ある関数が実数から実数への全単射なら、その関数は連続関数です。 （０７）一様連続性・・・有界閉区間の連続関数は、一様連続です。 （０８）積分可能性・・・一様連続なら、積分可能です。 （０９）対数関数・・・f(x) = 1/x の原始関数として定義すると、連続関数であることが保証されます。 （１０）単調増加関数・・・このようにして定義した対数関数は単調に増加します。 （１１）逆関数・・・したがって、その逆関数を考えることができます。 （１２）逆関数の連続性・・・連続関数の逆関数は連続関数です。 （１３）指数関数・・・対数関数の逆関数を「指数関数」と呼ぶことにしました。 （１４）指数の拡張（その３）・・・指数関数は連続関数なので、実数の指数の存在が保証されます。 【指数の拡張（その３）】・・・最後に、複素数にまで拡張します。 （※）事前に、「複素数」について学んでおくと良いです。→ こちら また、併せて、「テイラーの定理」についても学んでおくと良いです。→ こちら （１５）絶対収束・・・数列の各項の絶対値の和が収束するときです。 （１６）指数の拡張（その４）・・・指数を、実数から複素数へ拡張します。 （１７）複素変数のテイラー展開・・・複素変数バージョンで、指数関数と三角関数のテイラー展開です。 （１８）レオンハルト・オイラー（１７０７−１７８３）・・・「オイラーの公式」の人です。 （１９）オイラーの公式・・・絶対収束するので、指数関数を三角関数で表すことができます。 「地図と測量」に戻る |
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