指数・対数
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高校数学では、指数の範囲を、自然数から整数全体へ、さらには有理数全体へ拡張していき、 最後には実数全体へ拡張したところで「指数関数」を導入します。 ・・・ですが、指数を有理数全体に拡張するところまでは、ちゃんとした説明があるものの、 指数を実数全体に拡張するところで、「そんなもんだから、受け入れて！」という感じの説明しかなく、 本当に実数全体に拡張して良いのかどうか不安になります。 この不安定な基盤の上に「指数関数」を乗せるので、指数関数が連続関数であるのかどうか揺らいでしまいます。 さらに、指数関数を定義してから、対数関数を定義するので、 対数関数の連続性についても、やはり不安が拭い去れません。 ・・・発想を変えたいと思います。  学ぶ項目を、ステップを細かく分けて一覧にしました。 「こう項目は大丈夫だな。」と思うものは飛ばしてもらって結構です。 自分に必要な項目だけを学べば良いでしょう。 カッコ内は、文部科学省の学習指導要領に従った、目安となる履修学年です。 【指数】・・・「１００００００００００」と書くと、０が何個あるのか分かりにくいです。 そんなとき・・・ （０１）累乗（中１）・・・同じ数を何個か掛け合わせたものを、その数の「累乗」と言います。 （０２）指数（中１）・・・掛け合わせた個数を示す数です。 （０３）底（中１）・・・「an」において、ａを「底」、ｎを「指数」と言います。 （０４）指数法則（中１）・・・「底の掛け算」は「指数の足し算」です。 （０５）指数の拡張（その１）（高２）・・・“０乗”すると、必ず１になります。 （０６）指数の拡張（その２）（高２）・・・“－１乗”すると、どうなるのでしょうか？ （０７）指数の拡張（その３）（高２）・・・“1/2乗”すると、どうなるのでしょうか？ 【対数】・・・数の大小を考えるときに、その桁数に注目してみました。 （０８）真数（高２）・・・「logam」において 、ａを「底」、m を「真数」と言います。 （０９）対数の性質（高２）・・・指数法則と対数の定義により、特徴ある性質が生まれます。 （１０）底の変換公式（高２）・・・異なる底をもつ対数の計算は、まず、底を揃えることから始めます。 【対数関数】・・・ y = 1/x を積分したものが対数関数です。 （※）事前に、「関数の連続性」について学んでおくと良いです。 → こちら （１１）y = 1/x ・・・連続関数です。 （１２）L(x) ・・・ここでは、y = 1/x を積分したもの、として定義します。 連続関数です。 （１３）L(x) の性質①・・・a ＞ b ⇔ L(a) ＞ L(b)。 （１４）L(x) の性質②・・・L(ab) = L(a) ＋ L(b)。 L(a/b) = L(a) － L(b) 。 （１５）L(x) の性質③・・・ n・L(a) = L(an)。 （１６）対数関数・・・（１３）～（１５）より、L(x) を「対数関数」と定義しよう！ 【指数関数】・・・“対数関数の逆関数”で定義しよう！ （１７）逆関数の存在・・・対数関数は、狭義単調増加な連続関数なので、逆関数を考えることができます。 （１８）対数関数の逆関数・・・指数法則が当てはまるので、「指数関数」と定義しよう！ （１９）指数関数・・・連続関数です。 【対数関数・指数関数の導関数】 （※）事前に、「微分法」について学んでおくと良いです。 → こちら （２０）自然対数（高３）・・・対数関数を微分したときに 1/x になるよう選んだ底です。 （２１）指数関数の微分法（高３）・・・「逆関数の導関数」を利用します。 （２２）y = xn の導関数（その５）（高３）・・・ｎが実数のときの微分です。 （※）「指数」は、「星までの距離」や「物質量」など、大きな数を表すときに使います。 「対数」は、「水溶液の液性（ｐＨ）」や「マグニチュード（地震の規模）」などに用いられています。 「球の表面積」に戻る |
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