３次元トーラス , 四元数多様体 , etc.
３次元トーラスは、トーラスの３次元版です。２次元トーラスは、２次元空間の中では作れず、３次元（以上の）空間の中で
作ることができました（平坦トーラス 参照）。
同様に、３次元トーラスは、３次元空間の中では作れず、４次元（以上の）空間の中で作ることができます。
３次元トーラスは、直方体において、対向する面どうしを貼り合わせたものになります。具体的には、図７の直方体において、
面aと面a'を、面bと面b'を、面cと面c'を、それぞれ貼り合わせると、３次元トーラスになります。
３次元空間の中では、位相を維持しながらの変形を可とするなら、図７の直方体の、面aと面a'、面bと面b'の貼り合わせを
行うことができます。その結果、図８に示すように、２つの２次元トーラスに囲まれた立体が得られます。ここで、外側の
２次元トーラスは図７の面c、内側の２次元トーラスは図７の面c' になっていることがわかります。なお、内側のトーラスは、
ちょっとわかり難いですが、断面で示したように、外側のトーラスとは同心円状になっています。
あと、面c と面c' の貼り合わせを行えば、３次元トーラスができあがります。しかし、図８からわかりますように、面c と面c'
の貼り合わせは、３次元空間ではできません。従って、３次元トーラスは、４次元（以上の）空間の中でしか実現できません。
３次元トーラスは、３次元球面などと同じく、３次元閉多様体の一種です。３次元トーラス中の任意の点は、その周囲に、
３次元的な広がりを持っています。すなわち、３次元トーラスは、３次元球面などと同様、閉じた３次元空間になっており、
３次元的な境界は存在しません。
３次元トーラスのＧＩＦアニメーション（GIF animation）を、作ってみました。右のアニメーションです。
まず、アニメーションを構成している各々の図は、４次元空間内にある３次元トーラスを、wをある値に固定した３次元空間で切った断面です。
普通、『断面』と言うと、面（２次元空間）を連想しますが、ここでの断面は、３次元空間です。このアニメーションは、w を -1 から
1 まで変化させながら、各 w での断面（＝３次元空間）を次々に示しています。すなわち、右のアニメーションの中で、次々に現れて来る２次元
トーラスは、３次元トーラスの各 w での断面（＝３次元空間）を示しています。
アニメーションをご覧になるとわかる様に、まず、w＝-1 や w＝1 での３次元トーラスの断面は、ともに１個の２次元トーラスで、同じ形をして
います。また、w＝a（-1＜a＜1）での３次元トーラスの断面は、２個の２次元トーラスで、一方の２次元トーラスが他方の２次元トーラスを囲むように
配置されています。そして、w＝0 で、２個の２次元トーラスの間の距離が最大になっています。なお、w＝-1 や w＝1 は、２個の２次元トーラスの
間の距離が 0 になり、１つの２次元トーラスになった状態に他なりません。
ところで、w＝-1 から w＝0 までの３次元トーラスの各断面は、図８に示した『２つの２次元トーラスに囲まれた立体』を、w＝-1 から w＝0 までの
４次元空間内に引き伸ばしたものの断面、と考えることができます。同様に、w＝0 から w＝1 までの３次元トーラスの各断面も、図８に示した
『２つの２次元トーラスに囲まれた立体』を、w＝0 から w＝1 までの４次元空間内に引き伸ばしたものの断面、と考えることができます。
従って、３次元トーラス（右のアニメーション）は、図８に示した『２つの２次元トーラスに囲まれた立体』を２つ用意して、w＝0 において、
その表面どうしを貼り合わせれば、実現できることがわかります。なお、言うまでもありませんが、３次元トーラスの w＝0 での断面に現れる２つの
２次元トーラスは、図８の面c と面c' に対応していることがわかります。
ところで、２つの『種数３のハンドル体』の表面どうしを貼り合わせると、３次元トーラスが出来上がります
（*）。『種数３のハンドル体』とは、１個の球体に３個の把手（ハンドル）を付けた形のこと
です。あるいは、穴が３つあるドーナツのような形、と言っても良いでしょう。
（*） 参考書籍 ： 『トポロジカル宇宙 [完全版]』 根上生也 著 日本評論社 2007年
次に、３次元平坦トーラスについて考えてみましょう。２次元平坦トーラスは
４次元空間の中で実現できました（平坦トーラス 参照）。同様に、３次元平坦トーラスは、
６次元空間の中で実現することができます。
６次元空間を表す６つの座標軸を、u軸、v軸、w軸、x軸、y軸、z軸とします。すると、図９のように、u-v座標系の平面での
円型の輪（１次元）と w-x座標系の平面での円型の輪（１次元）と y-z座標系の平面での円型の輪（１次元）の直積が
２次元平坦トーラスになります。この３次元平坦トーラスを数式で表すと、次式のようになります。
u2+v2=α2, w2+x2=β2, y2+z2=γ2
もし、図９で表した３次元平坦トーラスが、図７の直方体を、伸縮することなく、面a-a'、面b-b'、面c-c'の貼り合わせで
作られているなら、図９の各円輪の半径α、β、γは、図７の直方体の各辺の長さp、q、rの 1/(2π)になります。すなわち、
次式のようになっています。
p＝2πα, q＝2πβ, r＝2πγ
そして、図９の３次元平坦トーラスの体積は、図７の直方体の体積（＝pqr）と等しいことがわかります。
なお、平坦な３次元閉多様体は、３次元平坦トーラスだけではありません。例えば、図７の直方体において、q＝r とし、
６次元空間の中で、面b-b'、面c-c'の貼り合わせを３次元平坦トーラスと同様に行い、面aを90度回転させて面a'と貼り合わせると、
３次元平坦トーラスとは別の平坦な３次元閉多様体になります（後述の図１１ 参照）。また、これ以外の貼り合わせ方もあり、結果として、
３次元平坦トーラスを含めて１０種類の平坦な３次元閉多様体が構成できます（*）。なお、この１０種類のうち、
６種類が向き付け可能な多様体（**）となり、４種類が向き付け不可能な多様体（例えば、後述の図１２）となり
ます。
（*） 参考書籍 ： 『体験する幾何学』 ヘンダーソン＋タイミナ 著 鈴木治郎 訳 ピアソン・エデュケーション社 2010年
（**） この６種類の向き付け可能で平坦な３次元閉多様体は、幾何化予想における８種類の幾何構造の１つである
E3 に分類される多様体です。
さて、冒頭の図７では直方体の対向面の貼り合わせを考えていましたが、これからは、立方体（正六面体）の対向面の貼り合わせを考えることにします。
まず、図７の直方体において p＝q＝r とおくと図１０の立方体と等しくなりますから、図１０に示すように、この立方体がもつ３組の対向面をそれぞれ
貼り合わせ、その際、対向面の組における各辺の向きが一致するように貼りあわせると、やはり、３次元トーラス（＝３次元平坦トーラス）が得られます。
なぜなら、図１０からわかるように、８個あった頂点は貼り合わせをすることで１個（図１０のＡ）だけになるからです。具体的に言うと、貼り合わせ後は
８つの頂点立体角が１つの点（図１０のＡ）を囲むことになります。また、立方体の頂点立体角は、π/2 (sr) です。よって、１つの点を囲む８つの頂点立体角
の和は、π/2×8＝4π (sr) となります。すなわち、頂点立体角の和が 4π (sr) であることから、この３次元トーラスの幾何構造は平坦であり、
E3 の一種であるとわかります。
なお、３次元トーラスの基本群は、Ｚ×Ｚ×Ｚ （ ただし、Ｚ＝｛ 0, ±1, ±2, ±3, ・・・ ｝ ： 整数全体の加法群 ）となります。
参考資料： ・Wikipedia 『立体角』
また、前述したように、立方体（または正方形の対面を含む直方体）の対向面の貼り合わせにおいて、１組の対向面（図１１における上面と下面）だけ
時計周りに90度回転させて貼り合わせることでも、３次元トーラス（＝３次元平坦トーラス）の一種が得られます。
なぜなら、図１１からわかるように、図１０と同様に、８個あった頂点は貼り合わせ後は１個（図１１のＡ）だけになり、頂点立体角の和が 4π (sr) に
なるからです。よって、この３次元閉多様体も、幾何構造は平坦であり、E3 の一種であることが
わかります。
なお、図１０や図１１に示した３次元閉多様体の辺の個数に注目すると、もともとあった１２本の辺は貼り合わせ後、４分の１の３本（図１０、図１１の
ａ、ｂ、ｃ）だけになります。すなわち、貼り合わせ後は、４つの辺が１辺になり、その１辺の周囲を４つの直角（＝π/2 rad ）が囲むことになるため、
その平面角の和は、π/2×4＝2π (rad) となります。よって、このことからも、これらの３次元閉多様体の幾何構造が平坦であるとわかります。
つぎに、立方体において、４つの側面は図１０と同様の貼り合わせをするが、上面は裏返してから下面と貼り合わせる場合について、考えてみましょう。
この場合、図１２に示したように、上面の辺ａの向き（＝『緑色』の矢印）と下面の辺ａの向き（＝『赤色』の矢印）が逆になるため、貼り合わせにより
得られる３次元閉多様体は『クラインの壺の３次元版』になります。すなわち、３次元トーラスと同じく平坦な３次元閉多様体ではあるが、向き付けが
不可能な多様体となります。なお、向き付けが不可能であることは、図１２において、正四面体を３次元多様体（立方体）の内部→上面→下面→内部へ
移動させることで確かめることができます（『ギーゼキング多様体 と レンズ空間』 参照）。
ところで、立方体の貼り合わせにおいて、１組だけでなく３組の対向面を全て90度回転させて貼り合わせた場合、どんな３次元多様体が得られるで
しょうか？ この点について考えてみましょう。
具体的には、立方体の３組の対向面のそれぞれについて、時計回りに90度回転させて順に貼り合わせて行くと、図１３のような３次元多様体が得られます。
すなわち、貼り合わせにより、８個あった頂点は２個（図１３のＡ、Ｂ）だけにになり、１２本あった辺は４本（図１３のａ、ｂ、ｃ、ｄ）だけになります。
よって、頂点の個数は貼り合わせによって８個の４分の１の２個になるから、貼り合わせ後の頂点１個の周囲を４つの頂点立体角が囲むことになります。
また、立方体の頂点立体角は、π/2 (sr) です。よって、１つの点を囲む４つの頂点立体角の和は、π/2×4＝2π＜4π (sr) となります。すなわち、
頂点立体角の和が 4π (sr) より小さいことから、この３次元多様体は球面幾何をもつ多様体（S3等 の
一種）であるとわかります。
なお、図１３の３次元多様体の辺の個数に注目すると、もともとあった１２本の辺は貼り合わせ後、３分の１の４本（図１３のａ、ｂ、ｃ、ｄ）だけに
なります。すなわち、貼り合わせ後は、３つの辺が１辺になり、その１辺の周囲を３つの直角（＝π/2 rad ）が囲むことになるため、その平面角の和は
π/2×3＝3π/2＜2π (rad) となります。よって、このことからも、この３次元多様体の幾何構造が球面的であるとわかります。
また、この３次元多様体は、基本群が四元数群 Ｑ8 （＝｛ ±1, ±i, ±j, ±k ｝ ： 四元数の単位の乗法群（位数８））となるので、
四元数多様体と呼ぶこともできるでしょう。
参考資料： ・下記URLに掲載のPDFファイル
http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~wakui/sotsuron_syouji.pdf#search=%27%E6%AD%A3%E5%A4%9A%E9%9D%A2%E4%BD%93%E3%81%AE%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E5%95%86%E7%A9%BA%E9%96%93%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E7%BE%A4%27
・下記URLに掲載のPDFファイル
https://pi.math.cornell.edu/~hatcher/AT/AT.pdf#search=%27Allen+Hatcher+Algebraic+Topology%27
さらに、立方体の３組の対向面を全て180度回転させて貼り合わせた場合を考えると、上記のいずれとも異なる別の３次元多様体が得られます。
具体的に言うと、立方体の３組の対向面のそれぞれを180度回転させて順に貼り合わせて行くと、図１４のような３次元多様体が得られます。すなわち、
貼り合わせにより、８個あった頂点は４個（図１４のＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄ）だけにになり、１２本あった辺は６本（図１４のａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ）だけに
なります。よって、頂点の個数は貼り合わせによって８個の２分の１の４個になるから、貼り合わせ後の頂点１個の周囲を２つの頂点立体角が囲むことに
なり、立方体の頂点立体角が π/2 (sr) であるから、１つの点を囲む４つの頂点立体角の和は π/2×2＝π＜4π (sr) となります。すなわち、
頂点立体角の和が 4π (sr) より小さいことから、この３次元多様体は球面幾何をもつ多様体（S3等 の
一種）であるとわかります。
そして、このように立方体の３組の対向面を180度回転して貼りあわせた３次元多様体は、３次元実射影空間（＝レンズ空間 L(2,1) ）に他ならないことも
わかります（『ギーゼキング多様体 と レンズ空間』など 参照）。
なお、図１４の３次元多様体の辺の個数に注目すると、もともとあった１２本の辺は貼り合わせ後、２分の１の６本（図１４のａ、ｂ、ｃ、ｄ、ｅ、ｆ）だけ
になります。すなわち、貼り合わせ後は、２つの辺が１辺になり、その１辺の周囲を２つの直角（＝π/2 rad ）が囲むことになるため、その平面角の和は
π/2×2＝π＜2π (rad) となります。よって、このことからも、この３次元多様体（＝３次元実射影空間）の幾何構造が球面的であるとわかります。
また、この３次元実射影空間（＝レンズ空間 L(2,1) ）の基本群は、Ｚ2 （＝｛ ±1 ｝ ： 位数２の巡回群 ）となります。
