偏微分と重積分
|
|
【外積（ベクトル積）による面積計算】 【連載 面積（＃０５）】以来、ようやく“曲面の面積計算”に戻ってきました。 もう一度、おさらいしておきましょう！  曲面 z = f( x, y ) 上にある点 P( x, y, z ) = ( x, y, f( x, y ) ) に対して、 ｘ軸方向へ微小距離Δx だけ移動した点を Q( x ＋ Δx, y, z )、 ｙ軸方向へ微小距離Δy だけ移動した点を R( x, y ＋ Δy, z )とし、 点 S を、四角形 PQSR が長方形となるようにとります。 したがって、S の座標は ( x ＋ Δx, y ＋Δy, z )です。 これら３点 Q、R、S の真上に、曲面 z = f( x, y ) 上の点 Q'、R'、S'' があり、 それらの座標は、それぞれ Q'( x ＋ Δx, y, f( x ＋ Δx, y ) )、R'( x, y ＋ Δy, f( x, y ＋ Δy ) )、 S''( x ＋ Δx, y ＋ Δy, f( x ＋ Δx, y ＋ Δy ) ) です。 長方形 PQSR の辺 QS を少し持ち上げた四角形 PQ'S'R は、PR // S'Q'、PQ' // RS' だから平行四辺形、 さらに、この平行四辺形 PQ'S'R の辺 S'R を少し持ち上げた四角形 PQ'S''R' は、 PQ' // R'S''、PR' // Q'S'' だから平行四辺形です。 この微小平行四辺形 PQ'S''R' の面積を曲面全体に渡って集めると、曲面の表面積になることでしょう。 そこで、次なる課題は「微小平行四辺形 PQ'S''R' の面積」になります。 ここで、ベクトルの外積（ベクトル積）の知識を用いるので、一旦、話がそちらに逸れたのでした。 それらの話を終えた今なら、 ベクトル PQ' とベクトル PR' の外積から、平行四辺形 PQ'S''R' の面積が求まることがお分かりかと思います。  なので、これら２つのベクトルの外積は  となり、平行四辺形 PQ'S''R' の面積 ΔS は、外積の絶対値なので、  です。x, y の増加量に対する面積 ΔS の増加量の割合は  であり、Δx → 0、Δy → 0 のときの極限は、  となります。 【偏微分と重積分】 ここで、fx( x, y ) や fy( x, y ) は「偏微分」と呼ばれるものです。f( x, y ) は、x と y の２変数関数ですが、 片一方の変数を定数とみなし、もう一方で微分する“偏った微分”という意味合いです。 fx( x, y ) は y を定数とみなし x で微分したもの、fy( x, y ) は x を定数とみなし y で微分したものとなります。 さて、上記の式を x と y で積分すると、曲面の面積を求めることができます。  ここで、積分記号（インテグラル）が２つも登場しました。 さらに、x と y で積分すると言うけれど、x と y のどちらから積分するの？・・・という疑問も湧きます。 ２変数関数の積分を「重積分」と言います。 高校数学で学ぶ「微分」と「積分」は、１変数関数を対象としたものでした。 「偏微分」と「重積分」は、２変数関数を対象にした微分・積分であり、大学数学の基礎になります。 【球の表面積計算の途中経過】 それでは、今まで学んだことを用いて、球の表面積に取り組んでみましょう！ 原点を中心とする半径 a の球の方程式は  で表されます。これを z について解くと  以下では、球の上半分（ z ≧ 0 の部分）の表面積を計算して、その結果を２倍することを考えます。  ここで、x で偏微分したもの、y で偏微分したものは、それぞれ  だから、上半球の表面積を Su とすると、  ここから先、円の面積を求めるときは、直交座標から極座標への変換を行いました。→ こちら ここでも極座標変換を考えますが、２変数関数となると、変数変換も少々大変です。 改めて、次回に説明したいと思います。 |
|
|