３次元球面 と Ｓ2ＸＳ1 多様体
３次元球面のＧＩＦアニメーション（GIF animation）を作ってみました。右のアニメーションです。
w軸を時間軸に置き換えて、アニメーションにしてみました。３次元球面の形をイメージするのに、少しは役に立つかもしれません。
では、このアニメーションについて、説明します。なお、以下の説明中で、単に『球面』と言った場合は、２次元球面（普通の球面）を
指しているものとします。
まず、アニメーションを構成している各々の図は、４次元空間内にある３次元球面を、wをある値に固定した３次元空間で切った断面です。
普通、『断面』と言うと、面（２次元空間）を連想しますが、ここでの断面は、３次元空間です。このアニメーションは、w を -1 から
1 まで変化させながら、各 w での断面（＝３次元空間）を次々に示しています。すなわち、右のアニメーションの中で、次々に現れて来る
ピンク色の球面は、３次元球面の各 w での断面（＝３次元空間）を示しています。
アニメーションをご覧になるとわかる様に、まず、w＝-1 や w＝1 での３次元球面の断面は、半径ゼロの球面、すなわち、１点（x＝y＝z＝0）
です。また、w＝0 での３次元球面の断面は、半径１の球面です。そして、w＝a（-1＜a＜1）での３次元球面の断面は、半径が
(1-a2)1/2 の球面です。すなわち、全ての断面において、球面上の点は、
x2＋y2＋z2＋w2＝1 の関係を満足していることがわかります。一目瞭然ですが、この式は、
x、y、z、w の対称式になっています。すなわち、x、y、z、w の任意の入れ換えが可能です。例えば、x軸の代りに y軸、y軸の代りに z軸、
z軸の代りに w軸に、それぞれ置き換え、w軸ではなく x軸を時間軸とするアニメーションを作った場合でも、右のアニメーションと全く同じ様に、
ピンク色の球面が動きます。
なお、このアニメーションでは、説明を簡単化するため、半径を１としましたが、半径をＲとしても、全く同様であることは言うまでもありません。
ところで、球面は、２次元閉多様体の一種です。すなわち、球面の上のどの点においても、その周囲の２次元方向に広がりを持っています。
言い換えると、球面は、２次元の閉じた空間になっており、２次元的な境界は存在しません。
３次元球面も、球面と同様に、説明することができます。３次元球面は、３次元閉多様体の一種です。すなわち、３次元球面の中のどの点に
おいても、その周囲の３次元方向に広がりを持っています。言い換えると、３次元球面は、３次元の閉じた空間になっており、３次元的な境界は
存在しません。
ちなみに、w＝-1 から w＝0 までの３次元球面の各断面は、例えば、w＝b（-1＜b＜0）にある半径Ｒの球体を、w＝-1 から w＝0 までの
４次元空間内に引き伸ばしたものの断面、と考えることができます。同様に、w＝0 から w＝1 までの３次元球面の各断面は、例えば、
w＝c（0＜c＜1）にある半径Ｒの球体を、w＝0 から w＝1 までの４次元空間内に引き伸ばしたものの断面、と考えることができます。
すなわち、球体を４次元空間内で引き伸ばしたものを２つ用意して、例えば、w＝0 において、球体の表面どうしを貼り合せると、３次元球面が
出来上がることがわかります。
なお、３次元球面の基本群（１次元ホモトピー群）は、位数１の自明な群となります。すなわち、３次元球面の中にある任意のループは、必ず
１点にまで収縮させることが出来ます。
また、３次元球面は、向き付け可能な３次元多様体です。したがって、例えば、正四面体を３次元球面の中でどのように移動したとしても、
正四面体の向きが変化することはありません。ちなみに、向き付け不可能な３次元多様体の中で正四面体を移動させると、元の正四面体と
その鏡像対称体の区別が付かなくなります（→ 『ギーゼキング多様体 と レンズ空間』 参照）。
３次元球面と同様に、Ｓ2ＸＳ1 多様体のＧＩＦアニメーション（GIF animation）も作ってみました。
右のアニメーションです。
まず、Ｓ2ＸＳ1 多様体とは、３次元球面や３次元トーラスと同様、３次元閉多様体の
一種です。
３次元球面はＳ3、３次元トーラスは
Ｓ1ＸＳ1ＸＳ1 と表せる様に、
Ｓ2ＸＳ1 多様体はＳ2ＸＳ1 と表せます。
ここで、Ｘ は、直積を意味します。この直積での表現からわかるように、Ｓ2ＸＳ1 多様体は、
３次元球面と３次元トーラスの中間的な多様体です。
では、このアニメーションを使って、Ｓ2ＸＳ1 多様体を説明します。まず、w＝-1 や w＝1 での
Ｓ2ＸＳ1 多様体の断面は、半径Ｒ1の球面、です。また、w＝0 でのＳ2ＸＳ1 多様体
の断面は、半径Ｒ0 の球面（ピンク色の球面）と半径Ｒ2 の球面（黄色の球面）です。なお、図（アニメ）からわかるように、
Ｒ0＜Ｒ1＜Ｒ2 と言う大小関係になっています。そして、w＝a（-1＜a＜0、0＜a＜1）での
Ｓ2ＸＳ1 多様体の断面は、半径Ｒg の球面（ピンク色の球面、Ｒ0＜Ｒg＜Ｒ1 ）
と半径Ｒh の球面（黄色の球面、Ｒ1＜Ｒh＜Ｒ2 ）です。
w＝-1 から w＝0 までのＳ2ＸＳ1 多様体の各断面は、例えば、w＝b（-1＜b＜0）にある半径Ｒ2 の球体に対して、
その中心に近い半径Ｒ0 の球体部分を刳り貫いて、w＝-1 から w＝0 までの４次元空間内に引き伸ばしたものの断面、と考えることが
できます。同様に、w＝0 から w＝1 までのＳ2ＸＳ1 多様体の各断面は、例えば、w＝c（0＜c＜1）にある半径Ｒ2
の球体に対して、その中心に近い半径Ｒ0 の球体部分を刳り貫いて、w＝0 から w＝1 までの４次元空間内に引き伸ばしたものの断面、
と考えることができます。
すなわち、中心部分を刳り貫いた球体（中空球体）を４次元空間内で引き伸ばしたものを２つ用意して、例えば、w＝0 において、中空球体の
外側の表面どうし、内側の表面どうしを、それぞれ貼り合せると、Ｓ2ＸＳ1 多様体が出来上がることがわかります。
Ｓ2ＸＳ1 多様体のＧＩＦアニメーション（GIF animation）を、もう１つ、作りました。
右のアニメーションです。
Ｓ2ＸＳ1 多様体は、その４次元空間内への収め方を変えることで、１つ目のアニメーション（右上）の様に表せたり、
２つ目のアニメーション（右）の様に表せたりします。２つのアニメーションは、一見、全く違うように見えます。しかし、良く見ると、ともに、
Ｓ2ＸＳ1多様体を表していることがわかります。
そして、２つ目のアニメーション（右）からは、次のことがわかります。
w＝-1 から w＝0 までのＳ2ＸＳ1 多様体の各断面は、トーラス体を、w＝-1 から w＝0 までの４次元空間内に引き伸ばした
ものの断面、と考えることができます。同様に、w＝0 から w＝1 までのＳ2ＸＳ1 多様体の各断面も、トーラス体を、w＝0
から w＝1 までの４次元空間内に引き伸ばしたものの断面、と考えることができます。
すなわち、トーラス体を２つ用意して、w＝0 において、その表面どうしを貼り合せると、Ｓ2ＸＳ1 多様体が出来上がる
ことがわかります。
ちなみに、Ｓ2ＸＳ1 多様体は、レンズ空間 L(0,1) でもあり、その基本群は Ｚ＝｛ 0, ±1, ±2, ±3, ・・・ ｝ ： 整数
全体の加法群 となります。
ところで、３次元球面は、２つの球体の貼り合わせだけでなく、２つのトーラス体の貼り合わせでも、作ることが出来ます。（ 『
閉曲面の裏返し と ３次元球面 』 を、ご参照ください。）
具体的に言うと、右の図の上側のように、絡み合った２つのトーラス体の表面どうしの貼り合せで、３次元球面が実現できます。
また、トーラス体の内部を一回りするループ（右の図の上側の赤いループ）は、この貼り合わせを行う前は、当然ながら、１点にまで収縮させることは
出来ません。しかし、絡み合った２つのトーラス体の貼り合わせの後、このループを１点にまで収縮させることが出来ます。なぜなら、このような
貼り合わせを行うと、２つのトーラス体は、互いに相手の穴を埋め尽くして、穴が無くなるからです。すなわち、貼り合わせた後は、３次元球面に
なるのです。
一方、既に、Ｓ2ＸＳ1 多様体の２つ目のアニメーションを説明する所で述べましたように、
Ｓ2ＸＳ1 多様体も、３次元球面と同じく、２つのトーラス体の貼り合わせにより、作ることが出来ます。
しかし、３次元球面を作る場合とは、貼り合わせ方が異なります。具体的に言うと、右の図の下側のように、並んだ２つのトーラス体の表面どうしを
貼り合せると、Ｓ2ＸＳ1 多様体が実現できます。
なお、トーラス体の内部を一回りするループ（右の図の下側の赤いループ）は、貼り合わせの後も、ある大きさのループまでしか、
収縮できません。なぜなら、トーラス体の穴は、貼り合わせた後も、４次元空間内の穴として、引き継がれているからです。
