Ｓ行列と断面積は単なる”数学上”の産物か？

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左巻き右巻きスピノルっていったい何？
Ｓ行列と断面積。
QED の反応の確率振幅の計算。

左巻き右巻きスピノルっていったい何？

最初に ”左巻き”と ”右巻き”のスピノルについて説明することにする。
はたしてこれらの状態を視覚化することは可能だろうか ??

このページに示したように、ディラックスピノル u(p) と v(p ) は、
(Eq.1)

と
(Eq.2)

ここで
(Eq.3)

ここでパウリ行列は、
(Eq.4)

また γ 行列は、
(Eq.5)

(Eq.6)

Eq.3、Eq,4、Eq.5、Eq.6 より、 Eq.1 (of u₁(p) ) の分子は、
(Eq.7)

ここでは (-1, +1, +1, +1) バージョンを使用している。

つまり Eq.1 の u₁(p) は、
(Eq.8)

同じように、Eq.1 の u₂(p) は、
(Eq.9)

Eq.1 の v₁(p) は、
(Eq.10)

Eq.1 の v₂(p) は、
(Eq.11)

ここで次の γ 行列を使う。
(Eq.12)

この γ⁵ が u₁(p) に作用すると、
(Eq.13)

質量 m がゼロでかつ粒子がｚ方向へ動いているとき、
(Eq.14)

Eq.14 を Eq.13 の最後の行に代入して、 σ3 に注意すると、
(Eq.15)

Eq.15 から、
(Eq.16)

もし次のように定義すると、
(Eq.17)

波動関数は次のように分離できる。
(Eq.18)

次の関係式を使う。
(Eq.19)

と
(Eq.20)

ディラック方程式は、
(Eq.21)

Eq.21 は、フェルミ粒子の質量がゼロのとき、左巻き (もしくは右巻き) の粒子のみが残ることを意味している。
( フェルミ粒子が質量を持つと、左巻きと右巻きの粒子が混在した状態になるというわけである。)
しかし、残念ながら我々はこれらの巻き状態を 具体的に描くことができない。

Ｓ行列と断面積。

QED において、断面積を得るにはファインマンダイアグラムにおける確率振幅を計算する必要がある。
まず最初にこれらのことは物理的というより、非常に”数学的”な性質が強いということを言っておく。
このホームページでは、このページやこのページの表記を使用する。

(Ap.1)

ある状態をあらわす波束は次のように書ける。
(Eq.22)

ここで確率すべての合計は 1 になる。
(Eq.23)

またここでは Ap.1 の | k > や関係式を使っている。

A+B → 1+2 の遷移の確率 (= 確率振幅の２乗) は、
(Eq.24)

ここで iT はＳ行列の 相互作用項 を含んでいる。
Ｓ行列はある時間の間に遷移を生じさせるユニタリ行列を意味している。

そのため、次のように定義することができる。
(Eq.25)

エネルギーと運動量の保存 を意味するデルタ関数は Eq.25 に含まれている。
(これは後で計算する。)

(Fig.1)

Fig.1 に示すように、B の波束は impact parameter b　（＝二次元平面）に応じて均一に分布している。
そのため散乱イベントの回数 (N) と散乱断面積 (σ) は、
(Eq.26)

ここではある平面上で b によって積分している。
n_B は B の数密度を意味している。

Eq.22, Eq.24, Eq.25, Eq.26 を使うと、 (微分) 断面積は、
(Eq.27)

ここで b の指数関数は b のド・ブロイ波 (= 確率振幅 ) を意味している。

Eq.27 は A と B それぞれに６つの運動量 ( 3 × dk_A, and 3 × dk_A* ) を含んでいる。
最初に次のように積分する。
(Eq.28)

ここで次のデルタ関数の公式を使う。
(Eq.29)

f(k) が次のとき、
(Eq.30)

f '(k) は、
(Eq.31)

結果、近似的に E = mc² とおいて、 Eq.29、 Eq.31 を使うと、 Eq.28 は、
(Eq.32)

ここで速度 v = p/m、運動量 p = ħ k である。

次に Eq.27 において、次の積分をする。
(Eq.33)

また Eq.33 の結果を使って次の積分をする。
(Eq.34)

また、Eq.27 で、次の積分をする。
(Eq.35)

Eq.32、 Eq.33、 Eq.34、Eq.35 から、 Eq.27 は、
(Eq.36)

Eq.23 を考慮すると、 Eq.36 は、
(Eq.37)

次に最終状態２の運動量 (波束 k) で次のように積分する。
(Eq.38)

最終状態１の dk³ の積分は立体角を使って次のように表せる。
(Eq.39)

Eq.29 の公式を使って、
(Eq.40)

ここで重心系を仮定する。
(Eq.41)

ここで E_cm は全エネルギーである。

Eq.41 から、 Eq.40 は、
(Eq.42)

Eq,38, Eq.39, Eq.40, Eq.42 から、 Eq.37 は、
(Eq.43)

Eq.41 を使って、
(Eq.44)

次の近似を使う。
(Eq.45)

ここで | v_A - v_B | は近似的に 2c である。

Eq.45, Eq.44 を使うと、
(Eq.46)

これは立体角に対する微分断面積である。

ここで Eq.46 の次元がメートルの二乗になっていることを確かめる。
基本的にディラックのデルタ関数の次元はその中に含まれる数の逆数になる。
(Eq.47)

波数 (k), エネルギー (E), 光速 (c), プランク定数 (h) の次元は、
(Eq.48)

つまり Eq.25 の M の次元は、
(Eq.49)

ここでは S 行列は次元なしである。
Ap.1 から、 |k> の１ペアの次元は E/k³ である。

つまり Eq.46 の次元は、
(Eq.50)

結果的に微分断面積の次元は メートルの二乗である。

QED の反応の確率振幅の計算。

次に QED で最も重要な反応の確率振幅を求める

(Fig.2)

Fig.2 では、高エネルギーの電子 (e-) と陽電子 (e+) が互いに衝突して仮想光子に変化する。
そして、仮想光子 (光子の伝播関数) がミューオン (μ-) と反ミューオン (μ+) に変化する。
この計算過程はクォークと反クォークの生成にもあてはめることができる。
もちろん、これらの最終生成物は不安定なため、安定な電子、γ 線、ニュートリノなどにすぐに変化する。
ファインマンダイアグラムや具体的な計算過程については、このページも参照のこと。

ここで最初の状態の電子と陽電子の運動量を P_A、P_B とする。
(つまりそれらの波数は k_A と k_B である。)
そして、最終産物のミューオンと反ミューオンの運動量を P₁、P₂ とする。

次のディラックの波動関数を使う。
(Eq.51)

これの共役な転置行列 (× γ⁰) は、
(Eq.52)

また光子の伝播関数は、
(Eq.53)

Fig.2 の確率振幅は、
(Eq.54)

ここで Ap.1 の < k | と | k > を使用した。

Eq.25 から、 M は、
(Eq.55)

よって M の二乗 ( squared matrix element ) は、
(Eq.56)

このページの Eq.49-Eq.51 のトレーステクニックを使って、 Eq.56 は、
(Eq.57)

ここで Ap.1 の u と v の関係式を使った。
最終状態はすべてのスピン状態をとれて、最初の状態はスピンアップかダウンのどちらか一方の状態である。
よって 1/2 × 1/2 = 1/4 が付加されている。 (ここはちょっと想像するのが難しいが・・。)