( xμ、 pμ、kμ は ４元ベクトルである。 )
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このホームページでは、(-1, +1, +1, +1) バージョンの計量テンソルを使用している。
つまり、４元ベクトルのゼロ成分のみ 添え字の位置によって変化する。
もし、(+1, -1, -1, -1) バージョンの計量テンソルに変換したいときは、Eq.1, Eq.2 に示すようにするといい。
(Eq.1)
( xμ、 pμ、kμ は ４元ベクトルである。 )
また、行列は、
(Eq.2)
基本的に、式の意味は、両バージョンで まったく同じである。
表記の仕方のみが違うだけである。
要するに、もしバージョンを変更したいときは、適切な箇所で 符号を ( + → -, もしくは - → +) のように変更するとよい。
ここで、このページの Eq.85 の式の変換を証明する。
(Eq.3) = (Eq.85)
ここでは
(Eq.4)
Eq.4 では、 "q" は 光子、 "p" は 電子、 "k" は 電子の伝播関数である。
ここで このページの Eq.80 の "l" を使用する。
(Eq.5)
Eq.5 を使うと、 Eq.3 の最後の項 (３行目) は 次のように表せる。
(Eq.6)
このページ (Eq.80) に示したように、分母 D3 は l2 を含んでいる。
つまり、分母は l の偶関数である。
これは つまり、分子が奇関数のとき、積分は次のようにゼロになる。
(Eq.7)
実際に Eq.7 は 無限大の力を利用している。
新しい変数 l は k を 有限量 シフトさせて作ったものであることを忘れてはいけない。(Eq.5 を参照のこと。)
もし 積分変数 k が -∞ から +∞ でなければ この l は 偶関数にも奇関数にもなれない。
つまり Eq.7 の便利な道具は 無限大に依存している。
Eq.7 を使うと、Eq.6 の最後の項は ゼロになる。そのため Eq.3 の３行目は,
(Eq.8)
<
Eq.4 を使うと、 Eq.3 の １行目は、
(Eq.9)
結果的に Eq.8 は Eq.9 の最後の３つの項に等しい。
お気づきかもしれないが、 この QED の手法は このページの Eq.10' と Eq.10'' に示すように 間違った数学である。
Eq.5 を用いると、Eq.3 （２行目） の２項目は、
(Eq.10)
Eq.10 (右辺) の中の １つの項は 次のように表せる。 (ここで 左側の添え字 a を b に変更している。)
(Eq.11)
つまり、 Eq.11 は Eq.9 の残りの項に等しくなる。
要するに、Eq.3 (２行目) の残りの項はゼロにならなければならない。
( これらの "ゼロ"の項は 意図的につけられた。)
Eq.10 の別の項は、
(Eq.12)
Eq.12 は l の奇関数のため、積分するとゼロになる。
同様に Eq.10 の次の項もゼロになる。
(Eq.13)
Eq.10 に最後に残った項は、
(Eq.14)
ここで次の公式を使う。
(Eq.15)
Eq.15 は 次の関係式を使うと証明できる。
(Eq.16)
Eq.16 は 次のような意味である。
(Eq.H-1)
例えば、γ0γ0 = I ( = 4× 4, 単位行列 ),
(Eq.H-2)
また、 γ行列は 次のような反交換関係を満たす。
(Eq.H-3)
次に Eq.15 を証明する。 例えば Eq.15 の μ がゼロのとき、
(Eq.H-4)
Eq.16 と Eq.H-1 の関係を用いると、Eq.H-4 の左辺は、
(Eq.H-5)
ここでは 反交換関係を用いた。
Eq.H-5 は次に等しい。
(Eq.H-6)
ここでは
(Eq.H-7)
結果的に Eq.H-4 が正しいことが分かった。
( 同様に Eq.15 の他の数字のときも正しいことも分かる。 )
また、次の公式も使う。
(Eq.17)
μ が ν と異なるときは、 それは 奇関数となるため、積分すると Eq.17 はゼロになる。
gμν を Eq.17 の両辺に付加すると、
(Eq.17-2)
ここでは次を使った。
(Eq.17-3)
よって Eq.17 が正しいことが分かる。
Eq.15 を使うと、Eq.14 は、
(Eq.18)
ここで 右側の γ と k の 添え字 a を b に変更している。
つまり、l と k をそれぞれ１つずつ含む項は ( k → l ) のように変更することができる。
(Eq.20)
なぜなら、 l と k の差の部分は もう１つの l の奇関数の性質によって積分で消えてしまうからである。
すると、Eq.18 の最初の項は、(Eq.17 を用いて)
(Eq.21)
ここでは c と b に関して 0-3 成分の和をとった。
計量テンソルｇより、μ = b = c のケースのみ残る。 そのため gμcgbc = 1.
また、Eq.18 の２番目の項は 次のようになる。
(Eq.22)
ここでは γaγb = -gab.
また Eq.17 と Eq.17-3 を用いた。
Eq.3 (２行目) の最初の項, Eq.21, Eq.22 を足し合わせると、
(Eq.22-2)
結果、Eq.3 を証明することができた。
(Fig.1) Eq.3 = Eq.10 のまとめ。
次に Eq.85 (= Eq.3 ) が このページ の Eq.88 (= Eq.23 ) に等しいことを証明する。
(Eq.23) = (Eq.88)
ここでは ディラック方程式が満たす 次の関係式を用いる必要がある ( このページ (Eq.5-12) も参照のこと。)
(Eq.5-12)
つまり、
(Eq.24)
運動量とエネルギーは 次のように保存されている。
(Eq.25)
Eq.25 では、p と p' は それぞれ "in" と "out" の電子を表している。
重要な点は Eq.5-12 と Eq.25 を満たす必要があるとき、"q" は 仮想光子になり、 これは 相対論に従わない。
Eq.24 と E.25 から、
(Eq.26)
Eq.24 と Eq.25 を使うと、Eq.23 (1) の ２項目は、
(Eq.27)
(Eq.15)
Eq.15 と Eq.24 を使うと、Eq.27 の最後の行に含まれる 項は,次のように変化する。
(Eq.28)
また Eq.27 の最後の行に含まれる 別の項は
(Eq.29)
お気づきのとおり、彼らは p を γμ の右、p' を 左に移動させ "-m" に変更させようとしている。
そのため もし 仮想光子 "q" がゼロのとき、p' = p となり、わざわざ "-m" に変更するために それらを移動する必要がなくなる。
また Eq.27 の最後の行に含まれる 別の項は
(Eq.30)
そして Eq.27 の最後の項は
(Eq.31)
Eq.15 と Eq.24 を使って、Eq.31 に含まれる１つの項は
(Eq.32)
Eq.25 を使って、Eq.31 の別の項は、
(Eq.33)
ここでは 次の関係式を使っている。
(Eq.34)
別の質量殻条件は、
(Eq.35)
Eq.35 より、
(Eq.36)
後で q2 = 0 にするため pq = 0 になる。この場合 仮想光子 q 自体が ゼロになる ( q = 0 ) 、
すると、ｇ因子の値は １つに決まらないことになる。
上記の計算結果をすべて足せば Eq.23 を証明できる。
( p' = p + q、 x + y + z = 1、 また Eq.23 の残りの項も足し合わせる。)
(Fig.2) Eq.23 のまとめ。
次に実際に足し合わせてみる。
最初に γμ 項 (= 頂点 ) の外の値を計算する。
Eq.23-1 の ２行目から γ を含んでいない 項をピックアップする。
(Eq.37)
Eq.28 と Eq.31 から、 pμ の項は、
(Eq.38)
Eq.37 と Eq.38 の項から、pμ 項の合計 は、
(Eq.39)
Eq.29 と Eq.32 (= Eq.31 の１つ ) から、p'μ 項の合計 は、
(Eq.40)
ここでは p' = p + q を使用している。
Eq.37 と Eq.40 から、qμ 項の合計 は、
(Eq.41)
ここでは x + y + z = 1 を使っている。
Eq.39、 Eq.40、 Eq.41 から、 Eq.23-2 の２行目を得ることができる。
次に、Eq.28、 Eq.29、 Eq.30、 Eq.32 (= Eq.31 の１つ )、 Eq.33 (= Eq.31 の１つ )、 Eq.23-1 の２行目より、 γ 内の m2 項の合計 は、
(Eq.42)
Eq.33 (= Eq.31 の１つ ) から、γ 内の q2 の項
(Eq.43)
結果、Eq.23-2 の最初の行を得ることができた。
このセクションは このページの Eq.4-7 (Eq.4-4) から Eq.4-11 の内容を移したものである。
(Eq.4-4)
例えば、次の 伝播関数を計算する。 これは 粒子の伝播を意味するものである。
(Eq.4-7)
ここでは Eq.4-19 を用いている。
(Eq.4-19)
Eq.4-4 の２つの ω の平方根は 次のように変化する。
(Eq.4-8)
１つの d3k は積分するため、もう１つの k のみ残っている。
ここで 次の デルタ関数の公式を使う。
(Eq.4-9)
Eq.4-9 の公式を利用すると、 次の式を得る。
(Eq.4-10)
ここでは Eq.4-1 を使った。
(Eq.4-1)
Eq.4-10 に d4p を付け加えて Eq.4-10 を p0 で積分すると 次の式を得る。
(Eq.4-11)
ここで θ は "階段関数" を意味する。
Eq.4-11 は d4p 積分と Eq.4-1 を含むため、これは ローレンツ不変である。
もちろん、ローレンツ不変にするには この積分範囲を マイナス無限大から無限大までする必要がある。
つまり Eq.4-8 も ローレンツ不変である。
お気づきのとおり、 c や h などの係数は ローレンツ変換を不変に保ったままでも 自由に, 変更可能である。
そのため、我々が "人為的に" 正しいエネルギーを得るために これらの値をいじることは可能なのである。
2011/6/1 updated This site is link free.