スカラー、ディラック場、光子場の伝播関数。

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量子電磁力学の異常磁気能率。
特殊相対論は間違っている。

クライン・ゴルドン場の伝播関数
ディラック場の伝播関数。
光子の伝播関数、奇妙なゼロ成分の光子？

クライン・ゴルドン場の伝播関数。

(Fig.1) 内線 = 伝播関数。

伝播関数は量子電子力学 ( QED ) において様々な値を計算する主要なツールである。
QED の伝播関数は古典的なローレンツ力を相対論的な相互作用に変換することによって導入された。
これはつまり特殊相対論が間違っているとしたら、伝播関数を用いたこれらの相互作用も間違いということになる。

このセクションでは、様々な場 ( スカラー、ディラック、電磁場 ) におけるファインマン伝播関数について説明する。
伝播関数について理解するには、最初に基礎的な場の量子論について理解する必要がある。
そのためまだ読まれてないようならこのページを最初に読むように。

[ クライン・ゴルドン ( スカラー ) 場の伝播関数。 ]

実クライン・ゴルドン場の平面波解は
(Eq.1)

ここでは (-1, 1, 1, 1) バージョンの計量テンソルを使用している。
(1, -1, -1, -1) バージョンに変更したいときは、 ( kx → -kx, k² → -k² ) のように表記を変更するように。
意味はかわらず、表記法のみ異なるだけである。
( 付録も参照のこと。 )

スカラー場の伝播関数 ( グリーン関数 ) は次のように表される。
(Eq.2)

ここで θ(t-t') は ヘヴィサイドの階段関数である。
(Eq.3)

これは時間順序を表すのに使用される。
Eq.3 の階段関数 (= θ ) は、 (t-t') が正のとき、 θ は "1"。 t-t' が負のとき、 θ はゼロになる。

Eq.2 はスカラー粒子が真空から まず生成された後、消滅することを意味している。
( Eq.1 は "生成" ( a^† ) と "消滅" ( a ) 演算子を含んでいる。 )
もちろん、Eq.1 に示すように、伝播関数は無限種類の運動量 ( ħ k ) の 無限の粒子 を含んでいる。
( つまり、伝播関数自体は実在のものではない。しかし QED はこの概念を計算値を得るのに使用している。)

複素積分を使用すると、階段関数は次のように表される。
(Eq.4)

と
(Eq.5)

ここでは指数関数部分を同じにしてある。

--------------------------------------------------

[ Eq.4 と Eq.5 の証明。 ]

最初に Eq.4 を証明する。
この証明をスキップしたいときは、次のセクションに進まれるように。
Eq.4 を証明するには、コーシーの留数定理を用いなければならない。

留数定理では、1/(z-a) の係数のみ複素積分によって残る。
(Eq.6)

と
(Eq.7)

ここで積分は反時計回りの閉曲線である。
閉曲線が "極" を含んでいないとき、Eq.7 はゼロになる。

(Eq.4)

Eq.4 では、t-t' が正 ( t-t' > 0 ) のとき、 Eq.4 の指数関数は次のように ω = -i∞ の部分でゼロになる。
(Eq.8)

そのため実数線沿いの -∞ から +∞ の積分を Fig.2 に示す 複素積分と同様に見なせる。

(Fig.2) Eq.4 の階段関数 ( t-t' > 0 )

Fig.2 に示すように、"極" はマイナスの虚数部分にあるので、ゼロにならない。
Eq.4 を展開すると、係数 c_-1 は次のように " 1 " になる。
(Eq.9)

Fig.2 は 時計周りの閉曲線であるため、計算結果は逆になる ( 1 → -1 ).
(Eq.10)

結果的に t-t' > 0 のとき、階段関数 θ は "1" になる。
(Eq.11)

t-t' が負のとき ( t-t' < 0 )、Eq.4 の指数関数部分は ω → i∞ のときにゼロになる。
(Eq.12)

つまり、Eq.4 の積分は複素数場の 反時計回りの閉曲線と同等になる。
(Fig.3)

Fig.3 に示すように、この閉曲線は極を含まない。
つまり t-t' が負のとき、 θ はゼロになる。

次に Eq.5 の階段関数について考える。
(Eq.5)

(Fig.4) Eq.5 の階段関数。

Eq.5 では、 "極" は Fig.4 に示すように プラスの虚数部分に存在する。
Eq.4 と同様な方法で、次の結果を得る。
(Eq.13)

---------------------------------------------

[ 伝播関数。 ]

(Eq.1) クライン・ゴルドンの波動関数。

Eq.1 の生成・消滅演算子は次の交換関係を満足する。
(Eq.14)

Eq.1 の２つの異なった波動関数を使って、次を計算する。
(Eq.15)

両サイドの真空と消滅演算子の関係により、 aa^† の項のみ残る。
(Eq.16)

Eq.14 の交換関係を用いると、Eq.15 の結果は、
(Eq.17)

同様に、Eq.17 の x と x' を交換して、
(Eq.18)

Eq.18 では、ω_k は k_i の偶関数である。
(Eq.19)

つまり、 k_i の値が決まると、 ω_k も正の値に決まる。
Eq.18 において、 k_i の 1-3 成分を変化させると ( k → -k )、指数関数 ( e^ikx ) 部分は Eq.17 のと同じになる。
(Eq.20)

Eq.4 と Eq.17 を使用すると、 Eq.2 の最初の項は、
(Eq.21)

Eq.5 と Eq.18 (Eq.20) から、Eq.2 の２番目の項は、
(Eq.22)

ω を k⁰ に変える。
(Eq.23)

結果的に Eq.2 の クライン・ゴルドンの伝播関数 は Eq.21 と Eq.22 の足したものになる。
(Eq.24)

これをスカラー場の "伝播関数" (= グリーン関数 ) という。
スカラー場の伝播関数は他の場の基礎になるため、非常に重要である。

ディラック場の伝播関数。

QED では、ディラックの伝播関数が主に使用されている。よって次にディラック場について説明する。
このページに示したように、ディラック方程式の解は、
(Eq.25)

この共役な転置行列 (× γ⁰) は、
(Eq.26)

また粒子 ( c, c^† ) と反粒子 ( d, d^† ) は次の 反交換関係を満たす。
(Eq.27)

他の組み合わせは右辺でゼロになる。

ディラックの伝播関数は次のように表される。
(Eq.28)

ディラック場は 反交換関係を満たす。そのため "マイナス"の符号が Eq.28 の第２項目に付加される。

両サイドの真空による消滅を考慮すれば、"cc^†" の項のみ残る。
(Eq.29)

Eq.29 から、次を得る。
(Eq.30)

ここでは Eq.27 の反交換を使用した。

重要な点は Eq.30 の行列は次のように数にはなれないということである。
(Eq.31)

簡単に言うと、２つの行列 u は Eq.31 において ただ並んでいるだけである。

Eq.31 の状態は次のように表せる。
(Eq.32)

もし Eq.32 の２つの行列が結合せずただ並んでいるだけとしたら、Eq.32 の右サイドから別の u(k) をかけると、
(Eq.33)

ここで次の関係式を使用している。
(Eq.34)

"u" の関係式に関しては、このページを参照のこと。

Eq.33 はちょうど次に等しい。
(Eq.35)

Eq.35 はこのページの Eq.5-12 の u(k) の満たす関係式と同じである。
よって Eq.32 が正しいことが示された。

同様に、次を定義する。
(Eq.36)

Eq.36 の右サイドから別の v(k) を付け加えると、
(Eq.37)

Eq.37 はこのページの Eq.5-13 に等しい。

Eq.32 を用いると、 Eq.30 は、
(Eq.38)

ディラックの伝播関数 (Eq.28) の２項目を計算するとき、" c^† c " の項は消滅する。
(Eq.39)

ここでは " d d^† " の項のみ残る。
(Eq.40)

お気づきのとおり、 Eq.40 の２つの行列 v(k) は 横行列 × 縦行列 である。
そのため Eq.40 は Eq.30 とは完全に異なる。
ディラックの伝播関数を使うには、それらを同じものに "人為的"にそろえる必要がある。

Eq.36 を使うと、Eq.40 は
(Eq.41)

Eq.41 の係数 p^μ はディラックの微分演算子に由来している。
そのため最終形で指数関数部分を変更すると、それらは変化する。
(Eq.42)

そのため基本的にディラックの伝播関数は係数を除けば Eq.24 のクライン・ゴルドン場の伝播関数に似ている

(Eq.43) クライン・ゴルドンの伝播関数。

(Eq.44) ディラックの伝播関数。

Eq.43 と Eq.44 を比較すると、ディラックの伝播関数は
(Eq.45)

Eq.45 はディラックの伝播関数で QED では頻繁に使用される。

光子の伝播関数、奇妙なゼロ成分の光子？

[ ゼロ成分の光子と伝播関数。 ]

このページに示したように、真空中の電磁場のラグランジアンは次のように表される。
(Eq.46)

Eq.46 に示したように、もし μ と ν が同じならば、 F_μν はゼロになる。
つまり、正準な運動量のゼロ成分は次のようにゼロになる。
(Eq.47)

しかし後で説明するように、もしゼロ成分の光子を定義できないと、伝播関数の計算は不可能になる。
そのためゼロ成分の正準な運動量を "強制的"に作る必要がある。

ゼロ成分を含むラグランジアンを次のように定義する。
(Eq.48)

これを " ファインマンゲージのラグランジアン " という。
( ここでは通常の SI 単位系を使用しているため、透磁率 μ₀ が付加されている。 )

Eq.48 の２項目は次のローレンツ条件を考慮すると消失する。
(Eq.49)

そのためゼロ成分の正準な運動量は ( x⁰ = ct )、
(Eq.50)

ここで関係しているラグランジアンは、
(Eq.51)

また他成分 ( j = 1, 2, 3 ) の正準な運動量は
(Eq.52)

ここで関係しているラグランジアンは、
(Eq.53)

Eq.48 の μ と ν は 0 - 3 成分すべてを含んでいる。
そのため係数 1/4 (と 1/2) がキャンセルされる。

ドブロイの関係式のように、交換関係を定義できる。
(Eq.54)

すると、
(Eq.55)

ここで g^μν が現れる。
他の組み合わせはすべてゼロになる。

Eq.55 を用いると、Eq.54 を次のように証明することができる。
(Eq.56)

と
(Eq.57)

ここでは (-1,1,1,1) バージョンの計量テンソル g を使用している。
このページも参照のこと。

このページに示したように、マクスウェル方程式を満たす解 A_μ (x), は、
(Eq.58)

Eq.58 の時間微分は
(Eq.59)

Eq.55 を満足するためには、次の関係式が有効でなければならない。
(Eq.60)

他のすべての組み合わせはゼロになる。

Eq.60 に示すように、光子のゼロ成分のみ "負"のエネルギー ( = "負" の数 ). ( g₀₀ = -1 ) を持つ。
つまりこのゼロ成分の光子は実在のものではない。
もちろん、Eq.49 のローレンツゲージ条件を考慮すると、このゼロ成分の光子は除去できる。
この奇妙な性質は Eq.48 の２項目の負の符号に起因する。
( この負の符号は人為的に付けられた。)

ではどうして Eq.48 もしくは Eq.60 で負の符号を定義してのか？
じつは Eq.60 に負の符号を定義しないと、ｇ因子の計算ができないのである。
言いかえればｇ因子を計算するために奇妙な Eq.60 の関係式が導入されたのである。
このことを後で説明する。

次に Eq.60 の関係式を使用して Eq.55 を証明する。
Eq.58 と Eq.59 を Eq.55 に代入すると、
(Eq.61)

ここで
(Eq.62)

時間 t は同時刻である。