プラレール考察
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１０月１４日は「鉄道の日」です。 「鉄道」と言えば、子どもさんに人気なのが「♪青いレールをつなごう～♪」でお馴染みの「プラレール」です。 今回は、この「プラレール」について、少し考えてみましょう。 【レールの長さ】 １９５９年に誕生した「プラレール」は、今年で６５年。 この間に、色々な種類のレールが登場していますが、 何と言っても、主役は、「直線レール」と「（複線の内回り用）曲線レール」でしょう。 直線レールは、１本の長さが２１４ｍｍです。 「２１６ｍｍ」との説もあるようですが、 誕生当初のものと現行するもので、若干のサイズ変更がなされている・・・との話もあるようです。 現在販売されているものは「２１４ｍｍ」です。 いずれにしても、曲線レール８本で作る円の半径に合わせている、とのこと。 では、曲線レールの“曲がり具合”は、何を根拠にしたかと言うと、 当時、各家庭にあった、一般的な「卓袱台（ちゃぶだい）」に乗せられるように設定したようです。 卓袱台にも、色々なものがあったでしょう。 当然、大きさや材質にとって値段も異なったはず。 “一般的な”ということは、一般的な家庭が、どのような卓袱台を持っていたか？・・・ということと関連し、 ひいては、一般的な家庭の生活水準を考える必要があるので、これは、大変！ 社会科学として、別の機会で、考えることにしましょう！ 【レールの幅（片輪の溝幅）】 今回、取り上げるテーマは「レールの幅（片輪の溝幅）」です。  （図１）ひと言に「レールの幅」と言っても、図１にあるように、①～③の３種類あります。 ①はレール全体の幅で「３７ｍｍ」、②は片輪の溝幅で「１１ｍｍ」、③は両輪間の溝幅で「１８ｍｍ」。 本来なら、②×２＋③＝①になるはずですが、現在、（左辺）＝４０で、（右辺）とは異なっています。 これは、レール幅全体を３つの溝に仕切る“土手”２つ分の厚みがダブっているからです。 “土手”１つ分の厚みが１.５ｍｍなので、２つ分で３ｍｍの違いが生じています。 溝幅に“土手”を含める方が良いのか、含めない方が良いのかは、改めて検討することにしましょう。 レール全体の幅「３７ｍｍ」は、②や③の長さに依存しているので、 ②や③の長さが、なぜ、その長さになっているのかを考えれば良いことになります。  （図２）②や③の長さを考えるにあたって、気になったのは、車両についている車輪の位置関係です。 プラレールの車両は、３両１編成が一般的で、直線レール２本分に収まる長さです。 図２のように、中間車両の長さが長いものと短いもので異なる場合がありますが、 これは、先頭車両の長さによるものでしょう。 １編成の長さを同じにしようとすると、先頭車両が長いときは、中間車両を短くして調整・・・という感じ。 注目したいのは、中間車両で、車体の長さが異なっても、 ホイールベース（前輪から後輪までの長さ）は「４６ｍｍ」で同じである、ということです。 また、中間車両だけでなく、１編成内において、中間車両と先頭車両を比べても同じですし、 先頭車両どうしを比べても、駆動車であるかどうかに関係なく、ホイールベースは同じです。 【内輪差】 図１における②（片輪の溝幅）は、内輪差に関係しているのでは？・・・と考えました。 そこで、少し計算してみることにしました。 中学３年生で学ぶ「三平方の定理」を活用します。 （次の図３は、レール溝を仕切る“土手”の厚みや、車輪幅を考えていない、簡略化した図になっています。）  （図３）車両が左カーブを曲がるときを考えてみます。 長方形の４頂点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄに車輪があると思ってください。 「内輪差」とは「ＯＢ－ＯＣ」のことです。 （余談ですが、車の左折時に気をつけないといけません。） まず、ＯＢの長さを求めてみます。「三平方の定理」より、OB2 ＝ OC2 ＋ BC2 です。 ＯＣは、曲線レールの半径から、レール幅（内のり）の半分を引けば良く、「４１１ｍｍ」です。 ＢＣは、ホイールベースで「４６ｍｍ」でした。 これらを代入して、ＯＢの長さを求めると、４１３.５・・・≒４１４ｍｍ でした。 次に、ＯＣです。 ＯＣ ＝ ＯＤ － ＣＤ であり、ＯＤは、上と同様に「三平方の定理」で求まります。 OD2 ＝ OA2 － AD2 で、ＯＡは曲線レールの半径に、レール幅（内のり）の半分を加えたもの、 ＡＤは、ホイールベースで「４６ｍｍ」です。 ＯＤ ＝ ４４２.６・・・≒４４３ｍｍとなりました。 ＣＤは「トレッド（左右の車輪間の幅）」です。 車両がレールを走行するときの「はまり方」から、 最大幅である、動輪軸の外側どうしの幅（３２ｍｍ）が妥当であると判断しました。 これらの結果、ＯＣの長さは、４４３ － ３２ ＝ ４１１ｍｍとなりました。 ということは、内輪差は、４１４ － ４１１ ＝ ３ｍｍとなります。 【曲率半径と内輪差の関係】 図１の②（片輪の溝幅：内のりで８ｍｍ）に比べると、小さい値ですが、 今、計算したのが、曲線レールのうち、複線の内側だったからでしょうか？ 複線の外側だと、内輪差は大きくなるのでしょうか？ 試しに、複線の外側の半径「５４９ｍｍ」で計算すると、内輪差は、ほぼゼロになります。 一般に、曲率半径が大きくなるほど、内輪差は小さくなるので、当然の結果と言えば、それまでです。 この一般論「曲率半径が大きくなるほど、内輪差は小さくなる」が本当なのか、確認してみましょう！ 内輪差を、曲率半径を独立変数 ｘ とした関数 f(ｘ) で表すと、次のようになります。  この関数 f(ｘ) が、単調減少であることを確認すれば良いわけです。 無理関数が入っているので、高校数学「数学Ⅲ」で学ぶ「微分法」を活用します。 【片輪の溝幅（８ｍｍ）】 片輪の溝幅（８ｍｍ）は、内輪差（３ｍｍ）に対して、余裕のあるものでした。 これは、子供も扱う「玩具」だから・・・ということかも知れません。 ギリギリを攻めすぎると、脱線ばかりして、子供がイライラするかも知れませんので・・・（笑）。 ただし、気になることもあります。 「ニュー坂レール」というレールパーツがあります（図４）。 平面から高架への上り、または、高架から平面への下りに使います。 この「ニュー坂レール」を下りに使い、直接、曲線レールをつなげたとき、脱線することがあります。 「直線レール」や「１／２直線レール」を１本挟んでおくと、脱線は回避できますが、 曲線レールを直接つないだときには、脱線することがあります。  （図４）「ニュー坂レール」が登場するまでは、高架１階分の高低差を下るのに、 １階分を４分割した“薄い高架パーツ”で直線４本をつなぎ、緩やかに下っていました。 当時は、下った直後のカーブで脱線することはなかったでしょう。 「ニュー坂レール」は、直線２本分の長さで、１階分の高低差を下る上、 横から見ると「Ｓ字カーブ」を描いているので、下っている最中の傾斜が、かなり急です。 その加速により、スピードが増した状態で、曲線レール区間に進入すると、脱線の原因になるのかも知れません。 この辺りも検討の余地ありですね。 |
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