曲線の長さ
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【連載 面積（＃０３）】では、円の面積がどうして（円周率）×（半径）×（半径）で求まるのか考えました。 これで、面積に関する謎の１つが解けました。次は、球の表面積です。 中学１年生のときに「４×（円周率）×（半径）×（半径）」と覚えるのですが、 どうしてこの式で求まるのか、ものすごく謎です。 これを理解するには大学レベルの数学が必要です。 気が遠くなりそうですが、頑張ってついてきてくださいね。 球の表面積の公式を理解する時、まず助けになるのは、高校数学で学ぶ「曲線の長さ」です。 座標平面上に「ｙ＝（ｘの式）」で表される１変数関数の曲線があるとき、 積分法を用いて、その曲線の長さを求めます。 この考え方で、１次元上げてみましょう！ 座標空間内に「ｚ＝（ｘとｙの式）」で表される２変数関数の曲面があるとき、 積分法を用いて、その曲面の面積を求める・・・という発想です。 これで、“球”という曲面の表面積を求めることができます。 ・・・ということは、「曲面の面積」を考える前に「曲線の長さ」について見ておいた方が良さそう。 今回は、「曲線の長さ」について考えていきます。 曲線 y = f( x ) 上の点 P( x, y ) が点 A( a, f(a) ) から点 B( b, f(b) ) まで移動するときに、 点 P が移動した距離 L を求めたいとき、どのようにすれば良いのでしょうか？  P( x, y ) から少しだけ移動して P'( x＋⊿x , y＋⊿y ) に至るときに描く曲線は、 ほぼ直線とみなすことができます。 この距離を⊿L とすると、三平方の定理より  となる。よって、x の増加量に対する L の増加量は  であり、⊿x → 0 のときの極限は  両辺を x で積分すると、  これが高校数学の「数学Ⅲ」で学ぶ「曲線の長さ」を求める式です。 この考えを発展させて「曲面の面積」に至りたいと思います。・・・次回をお楽しみに♪ |
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