中学生にもできる？大学入試

「中学生にもできる大学入試」とググルといろんなサイトがでてきます。当方のサイトとしては大学入試(2008〜2011）の平面幾何の分野で、中学生でもイケるんとチャウという問題をそのまま、または少し改変して出題していきたいと思います。尚、下の文にある中学の教科書とは公立の中学で現在使用されているフツーの教科書をさしています。

【問題１】 　AB＝ACの二等辺三角形の辺ABの 　中点をMとし、辺ABをBのほうへ 　延長した点NはAN：NB＝２：１を満たす。 　このとき∠BCM＝∠BCN　を証明せよ 　（２００８年京都大理系の問題） 　　この問題は中３の２学期の範 　囲でいけます。 　１つの解答↑図をタップ

【問題２】 　△ABCにおいてAB＝２、AC＝１ 　とし、∠BACの二等分線と辺BC 　の交点をDとする。AD＝BDとな 　るとき、∠Bの大きさを求めよ。　 　（２０１０年京大文系の問題です） 　この問題は中２の範囲でいけます 　元の問題は△ABCの面積を問う 　問題でしたが、∠Bの大きさとす 　ると中２の２学期の範囲でも　OK 　になる問題１も問題２もどのような 　補助線を引くかに関わってきますが… 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  　1つの解答↑図をタップ

【問題３】 　点Oを中心とする正十角形におい 　て、Bを隣接する２つの頂点とする 　線分OB上にOP×OP＝OB×PB 　を満たす点Pをとるとき、 　OP＝ABが成立することを示せ。 （２０１０年京大文系の問題です。） 　この問題は中３の範囲でいけます 　この形は中２の教科書の二等辺 　三角形に出てくる形ですが、相似 　や解の公式は中３なので、この問 　題は中３の２学期の範囲 　OB＝１とすればOPの長さが確定 　するので、対角線の長さが１の 　正五角形の一辺を求めるとか…

【問題4】 　鋭角三角形ABCにおいて、 　辺AB、BC、CAの中点を 　L、M、Nとする。頂点Aから 　辺BCに下ろした垂線を 　AHとする。 　（１）　∠LHN＝∠A を証明せよ 　（２）　４点L、M、H、Nは同一円 　　　　周上にあることを証明せよ 　（２０１０年鳴門教育大の問題） 　この問題は中３の２学期の範囲い 　けます。もとの問題には鋭角三角 　形の条件がないので、もとの問題 　はいくつかの　パターンに分けて考えます。

【問題５】 　平面上に円Sと６点A、B、 　C、D、E、F　がある。 　A、B、CはS上の異なる３点 　で、この順番で　反時計回り 　に並んでいる。線分ABを 　Aの側に延長した半直線上 　に点Dがある。∠CADを二 　等分する直線Lと円Sは異 　なる２点で交わり、それらは 　AとEである。さらに、EはCを 　含まないS上の弧AB上に 　ある。また、Lは線分BCを 　Cの側に延長した半直線と 　交わり、その交点がFである。 　このとき、次の問いに答えよ。 （１）題意にしたがって、円S、 　△ABC 　および点D,E,Fの図を描け。 　 　（２）△ACFと△AEBが相似で 　　あることを証明せよ。 　（３）AB×EF＝EB×BFとなる 　　　ことを証明せよ。 　（２０１０年高知大）の問題です。 　（２）（３）は相似なので中３の２学期の範囲

【問題６】 　△ABCにおいて、∠A＝７５° 　∠B＝６０°、AB＝１　 　とする頂点Aを通り辺BC 　に垂直な直線と三点A,B,C 　を通る円との交点をPとする。 　このとき、線分APの 　長さを求めよ。 （２０１０年鹿児島大の問題） 　三平方、円周角を用いるので、 　中３の２学期の範囲でいけます 　この問題は補助線とかいらなく 　て、中３の教科書レベルで十分 　です。むしろこれを作った人が 　中学の教科書まで見ていない 　ことの証明だったりして…

【問題７】 　△ABCはAB＝ACの二等辺三 　角形とする。DをBC上の点とし、 　ADの延長線が△ABCの３つの 　頂点を通る円と交わる点をPと 　する。　次の問いに答えよ （１）　AP＝BP＋CPであるとき、 　　　　△ABCは正三角形である 　　　　ことを示せ。 （２）　１／BP＋１／CP＝１／DP　 　　　であるとき△ABCは正三角 　　　　形であることを示せ。 　（２０１１年旭川医科大学の問題） 　いずれも中３の二学期の範囲で 　いけます。 　（１）の逆の問題がBASIC＋α」の 　　　　中の「問１９」にあります。 　（２）相似な三角形がいっぱいあっ 　　て目移りがするかもしれませんが 　　どれかの相似でいけますた…。 　　 　中学の時にこの（１）（２）の逆の 　問題をしていれば、だいぶ楽にな 　るけど、教科書どうりの受験勉強で 　はきつい。しかし、医科大を受ける 　シトだったらだいじょうぶカナ？

【問題８】 　△ABCの辺BCの中点をDとする 　点B、Cから対辺またはその延長 　線上に垂線BF、CEを下ろすと 　△DEFが正三角形となる。 　∠Aの大きさを次の場合につい 　て求めよ。 　（１）△ABCが鋭角三角形 　　　（３つの角が鋭角の三角形 　　　のとき） 　（２）∠Aが鈍角の三角形のとき 　（２０１１年佐賀大学の問題） 　　。元の問題には 　　（１）（２）はなく場合を分類する 　　必要がありました。） 　　いずれも中３の２学期の 　　　　　後半の範囲