中学生にもできる？大学入試

「中学生にもできる大学入試」とググルといろんなサイトがでてきます。当方のサイトとしては大学入試の平面幾何の分野で、中学生でもイケるんとチャウという問題をそのまま、または少し改変して出題していきたいと思います。尚、下の文にある中学の教科書とは公立の中学で現在使用されているフツーの教科書をさしています。

【問題１】 AB＝ACの二等辺三角形の辺ABの 中点をMとし、辺ABをBのほうへ 延長した点NはAN：NB＝２：１を満たす。 このとき∠BCM＝∠BCN　を証明せよ （２００８年京都大理系の問題） 　この問題は中３の２学期の範 囲でいけます。   １つの解答↑図をタップ

【問題２】 △ABCにおいてAB＝２、AC＝１ とし、∠BACの二等分線と辺BC の交点をDとする。AD＝BDとな るとき、∠Bの大きさを求めよ。　 （２０１０年京大文系の問題です） 　この問題は中２の範囲でいけます 　元の問題は△ABCの面積を問う 問題でしたが、　∠Bの大きさとす ると中２の２学期の範囲でも　OK になる問題１も問題２もどのような 補助線を引くかに関わってきますが… 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  1つの解答↑図をタップ

【問題３】 点Oを中心とする正十角形におい て、Bを隣接する２つの頂点とする 線分OB上にOP×OP＝OB×PB を満たす点Pをとるとき、 OP＝ABが成立することを示せ。 （２０１０年京大文系の問題です。） この問題は中３の範囲でいけます この形は中２の教科書の二等辺 三角形に出てくる形ですが、相似 や解の公式は中３なので、この問 題は中３の２学期の範囲 OB＝１とすればOPの長さが確定 　するので、対角線の長さが１の 　正五角形の一辺を求めるとか…

【問題4】 　　鋭角三角形ABCにおいて、辺AB、 BC、CAの中点をL、M、Nとする 頂点Aから辺BCに下ろした垂線を AHとする。 　（１）　∠LHN＝∠A　を証明せよ 　（２）　４点L、M、H、Nは同一円 　　　　周上にあることを証明せよ （２０１０年鳴門教育大の問題） この問題は中３の２学期の範囲い けます。もとの問題には鋭角三角 形の条件がないので、もとの問題 はいくつかの　パターンに分けて考えます。

【問題５】 平面上に円Sと６点A、B、C、D E、F　がある。A、B、CはS上の 異なる３点で、この順番で　反時 計回りに並んでいる。線分ABを Aの側に延長した半直線上に点 Dがある。∠CADを二等分する 直線Lと円Sは異なる２点で交わ り、それらはAとEである。さらに、 EはCを含まないS上の弧AB上に ある。また、Lは線分BCをCの側 に延長した半直線と交わり、その 交点がFである。このとき、次の 問いに答えよ。 （１）題意にしたがって、円S、△ABC および点D,E,Fの図を描け。 　（２）△ACFと△AEBが相似である　　　 　　　　ことを証明せよ。 　（３）AB×EF＝EB×BFとなること　　　 　　　　を証明せよ。 　（２０１０年高知大の問題です。 ） 　（２）（３）は相似なので中３の２学期の範囲

【問題６】 △ABCにおいて、∠A＝７５° ∠B＝６０°、AB＝１　とする 頂点Aを通り辺BCに垂直な直 線と三点A,B,Cを通る円との交 点をPとする。このとき、線分 APの長さを求めよ。 （２０１０年鹿児島大の問題） 三平方、円周角を用いるので、 中３の２学期の範囲でいけます この問題は補助線とかいらなく て、中３の教科書レベルで十分 です。むしろこれを作った人が 中学の教科書まで見ていない ことの証明だったりして…

【問題７】 △ABCはAB＝ACの二等辺三 角形とする。DをBC上の点とし、 ADの延長線が△ABCの３つの 頂点を通る円と交わる点をPと する。　次の問いに答えよ （１）　AP＝BP＋CPであるとき、 　　　　△ABCは正三角形である 　　　　ことを示せ。 （２）　１／BP＋１／CP＝１／DP　 　　　であるとき△ABCは正三角 　　　　形であることを示せ。 （２０１１年旭川医科大学の問題） 　いずれも中３の二学期の範囲で いけます。 　（１）の逆の問題がBASIC＋α」の 　　　　中の「問１９」にあります。 　（２）相似な三角形がいっぱいあっ 　　て目移りがするかもしれませんが 　　どれかの相似でいけますた…。 　　 　中学の時にこの（１）（２）の逆の 　問題をしていれば、だいぶ楽にな るけど、教科書どうりの受験勉強で はきつい。しかし、医科大を受ける シトだったらだいじょうぶカナ？

【問題８】 △ABCの辺BCの中点をDとする 点B、Cから対辺またはその延長 線上に垂線BF、CEを下ろすと △DEFが正三角形となる。 ∠Aの大きさを次の場合につい て求めよ。 　（１）△ABCが鋭角三角形 　　　（３つの角が鋭角の三角形 　　　のとき） 　（２）∠Aが鈍角の三角形のとき 　（２０１１年佐賀大学の問題） 　　。元の問題には 　　（１）（２）はなく場合を分類する 　　必要がありました。） 　　いずれも中３の２学期の 　　　　　後半の範囲