リーマン、リッチ、アインシュタインテンソル。

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一般相対性理論は本当に正しいのか？？

平行移動とクリストッフェル記号。
共変微分
リーマン曲率、リッチ、アインシュタインテンソル。

平行移動とクリストッフェル記号。

もしこのページ ( 一般、特殊相対論 ) の前半部分をまだ読んでいないようなら最初に読むように。
ベクトル A を x で偏微分し、かつそれを一般座標変換すると、
(Eq.1)

これは次のミンコフスキー空間のときとは違う。
(Eq.2)

なぜなら一般座標変換 (= "一般化された" ローレンツ変換 ) は２回微分可能だからである ( Eq.1 の右辺の最初の項 )。
Eq.1 の右辺の２項目のみだったら、ベクトルＡの導関数は座標変換に関してテンソルのように変化することを意味している。

もし偏微分演算子が共変４元ベクトルでないとしたら、計算が非常にやっかいになってしまう。
そのためリーマン時空間では 新しい 微分 (= 共変微分 ) を次のように定義する。
(Eq.3)

Eq.3 の分子は x+Δx のみを含んでいるため Eq.1 の右辺第一項のような項がでてこなくなりテンソルとなる。このことは後で説明する。
いずれにしろ Eq.3 や Eq.4 の定義は相対論の共変形式に合わせるための人為的な定義と言わざるを得ない。

ここではチルド-V は 平行移動したベクトルであり、次のように定義される。
(Eq.4)

ここで係数 Γ は クリストッフェル記号 (もしくはアフィン接続係数 ) と呼ぶものである。また V(x) の変化量はもとの V(x) の値と、 Δx に比例すると仮定した。

また Eq.4 が次を満たすとする。
(Eq.5)

Eq.5 は次に等しい。
(Eq.5-2)

Eq.4 に示す平行移動されたチルド V の意味が理解できただろうか？

計量テンソル g(x) は位置によって変化する。なぜなら重力が位置によって異なるからである。
Eq.5 は異なった場所 x でさえも スカラーの距離が不変であることを意味している。
もちろんスカラー距離はリーマン空間とミンコフスキー空間両方に共通の値である。
このページに示したように 自由粒子のエネルギー (E) と運動量 (=p) のスカラー距離は次のように静止質量エネルギーに関係している。
( もちろん、この静止質量エネルギーは一般座標変換でも不変である。)
(Eq.6)

しかし何か別の外力、例えば電磁気力（ポテンシャル）などが自由粒子に作用すると、Eq.6 のスカラー距離は変化する。
つまり、Eq.6 の定常なスカラー距離は重力のみによるベクトルの変化を意味している。（= クーロン力などの他の力は存在せず。）

ここで 反変ベクトル V の平行移動を得ることにする。
(Eq.6-2)

Eq.6-2 と Eq.4 を Eq.5-2 に代入して、
(Eq.6-3)

ここでは２次の無限小を無視した。

結果的に反変ベクトルの平行移動は、
(Eq.6-4)

g(x+Δ) を展開すると、
(Eq.7)

Eq.4 と Eq.7 を Eq.5 に代入して、
(Eq.8)

ここで Δx の２次の項を無視した。
( 縮約する２つの添え字の記号は自由に変えることができる。 ex. i i → k k )

Eq.8 は任意の Δx と V で成り立つ。そのため次を得る。
(Eq.9)

クリストッフェル記号が次を満たすと仮定する。
(Eq.10)

ここで次の関係式を証明する。
(Eq.11)

計量テンソルは次を満たす。
(Eq.12)

Eq.12 より、
(Eq.13)

δg の２次の項を無視して、
(Eq.14)

Eq.14 に g^rl をかけて、
(Eq.15)

次のように添え字を変えて、
(Eq.16)

Eq.11 を証明できた。

Eq.9 の２項目は、
(Eq.17)

また Eq.9 の３項目は、
(Eq.18)

Eq.11、 Eq.17、 Eq.18 を Eq.9 に代入して、
(Eq.19)

ここで次を定義する。
(Eq.20)

Eq.19 は、
(Eq.21)

Eq.21 の添え字を変えて、
(Eq.22)

同様に、
(Eq.23)

( Eq.21 + Eq.22 - Eq.23 )/2 は、
(Eq.24)

ここで Eq.10 を使った。

次の関係式を用いて、
(Eq.25)

Eq.24 は、
(Eq.26)

よってクリストッフェル記号を計量テンソル g を用いて表わせた。
すでに述べたようにこれらのクリストッフェル記号や計量テンソルｇはその地点における重力と関係している。

このページで述べたとおり、一般相対論では共変形式に合わせるために たくさんの人為的な定義があると言っていい。
もちろん一般相対論の式はほとんどが解けない。
非常に単純化した近似や非常に小さな効果だけから一般相対論を全面的に信じることは難しい。
無視できるほどの小さな効果よりもダークマターなどのビックな矛盾について考慮するのが先であろう。

共変微分

上で述べたようにチルド V_i (x+Δ) は計算を楽にするためには 共変ベクトルである必要がある。
一般座標変換のもとで (= "一般化された" ローレンツ変換 ), このチルド V は次のように変化する。
(Eq.27)

ここで次の関係式を使う。
(Eq.28)

Eq.4 と Eq.28 を Eq.27 に代入して、
(Eq.29)

Δx の２次の項を無視した。

次の関係式を使うと、
(Eq.30)

Eq.29 は、
(Eq.31)

Eq.4 のように、
(Eq.32)

Eq.31 が Eq.32 に等しいことを考慮して、次を得る。
(Eq.33)

お気づきのとおり、 Eq.33 の第２項目のみが残ったとしたら、このクリストッフェル記号は３階の混合テンソルとして変化する。
これはつまりクリストッフェル記号はテンソルでないことを意味している。 (= 共変や反変ベクトルではないということ。 )
また Eq.4 のチルド V を共変ベクトルにするには、クリストッフェル記号は一般座標変換のもとで Eq.33 のように変化しなければならない。

[ 共変微分。 ]

Eq.3 を次のように共変微分として定義する。
(Eq.34)

Eq.5 や Eq.6 で述べたように、もし重力のみ存在するとしたら、 Eq.34 はゼロになる。
つまり、Eq.34 はリーマン時空間における重力以外の外力による変化を意味している。

Eq.4 を Eq.34 に代入して、
(Eq.35)

Eq.35 を共変ベクトル V_i(x) の 共変微分 と呼ぶ。

Eq.6-4 から、反変ベクトル Vⁱ(x) の共変微分は、
(Eq.35-2)

Eq.35 は２階の共変テンソルとして変化する。
なぜならチルド V を共変ベクトルにするために Eq.27 を定義したからである。
( もちろん、 V や Δx は最初からベクトルである。 )
また通常の微分と違い Eq.34 の共変微分の分子のベクトル V(x + Δx) と "チルド V(x + Δx)" は 同一地点 (= x + Δx ) に存在する。
そのため共変微分は位置の変化による ( x → x+Δx ) 座標変換の変化を考慮する必要がなく、Eq.1 の第１項目のような項が現れないため、テンソルとなる。

ここで実際に Eq.35 が２階の共変テンソルであることを計算して確かめる。
Eq.1 と Eq.33 を用いると、 Eq.35 は一般座標変換のもとで次のように変化する。
(Eq.35-3)

ここでは次を使っている。

最後の項では、" n " を " l " に交換して、かつ " n " を " k " に置き換えた。

次に２種類のベクトル A と B が次を満たすことを証明する。
(Eq.36)

Eq.36 の V=A+B を Eq.5 に代入して、
(Eq.37)

次の関係式を使うと、
(Eq.38)

Eq.36 を証明することができた。

次の関係式を使うと、
(Eq.39)

Eq.36 は次のように表せる。
(Eq.40)

( 定義: g_ij = g_ji )

Eq.6-4 で述べたように、反変ベクトルは平行移動で次のように変化する。
(Eq.44)

よって反変ベクトル A の共変微分は、
(Eq.44')

次に混合テンソル ( 反変 A + 共変 B ) の平行移動を考える。
(Eq.45)

Eq.4、 Eq.44 を使うと、 Eq.45 は次のように変化する。
(Eq.46)

ここで添え字を変えて、 Δx の２次の項を無視した。

次の関係式を使うと、
(Eq.47)

Eq.46 は、
(Eq.48)

結果的に混合テンソルは ( Eq.4 + Eq.44 ) のように変化する。

またテンソルの共変微分は、
(Eq.49)

(Eq.50)

Eq.50 を用いると、計量テンソル g (= 共変 × 共変 ) の共変微分は、
(Eq.51)

Eq.19 より、 Eq.51 はゼロになる。

反変計量テンソル g^ij の共変微分もゼロになる。 ( Eq.12 と Eq.51 を使って。 )
(Eq.52)

リーマン曲率、リッチ、アインシュタインテンソル。

次に２次の共変微分 ( Δxⁱ と Δx^j に関して ) を行う。
Eq.53 の１行目は共変テンソル ( A_{m ;i} ) の Δx^j による共変微分を意味している。 (Eq.51、Eq.50、Eq.35 も参照のこと。)
(Eq.53)

Eq.53 では、Eq.35 や Eq.50 を２回用いて添え字も適宜変更している。
各番号 ( 1, 2, or 3 ) は同じ項由来であることを表している。

共変微分の順序 ( Eq.53 の i と j ) を変えて、片方からもう片方を引き算すると、
(Eq.54)

ここでは Eq.53 の最後の行の５番目と６番目の項のみ残る。

Eq.54 は次のように表せる。
(Eq.55)

この４階のテンソル R を リーマン曲率テンソルと呼ぶ。
もしこのリーマン曲率テンソル R のすべての成分がゼロのとき、微分は交換可能になり、これはすなわちミンコフスキー時空間を意味する。

Eq.55 の A が反変ベクトル V^m のとき、
(Eq.56)

ここで Eq.44' のテンソルの共変微分を用いて、Eq.53 のように計算した。

共変な４階テンソル R は計量テンソル g × Eq.55 より、
(Eq.57)

もし座標変換によって x 地点で 局所慣性系 (= 局所ミンコフスキー空間) に移ると、Eq.24 と Eq.26 のクリストッフェル記号 Γ はゼロになる。( x 地点で g = η, Γ = 0 ).
そのため g (= η = x 地点の g ) の 1次の微分と Γ が局所慣性系であるｘ地点においてゼロになる。
しかし g の２次の微分はゼロでない可能性もある。
この場合 (= 局所ミンコフスキー ) において、 Eq.57 のリーマン曲率テンソルは ( Eq.55 と Eq.26 を用いて )
(Eq.58)

Eq.58 の２行目で、赤い線の２つの項が互いに打ち消しあう。
そして g の２次の微分が残る。

Eq.58 から、次の関係式を証明できる。
(Eq.59)

そして座標変換でリーマン時空間に戻ると、
(Eq.60)

Eq.60 は Eq.59 がすべてのリーマン時空間で成り立つことを意味している。なぜなら R はテンソルだからである。

Eq.55 のリーマン曲率テンソルの最初と３番目の添え字 (= i i ) を縮約 (= 0 から 3 まで足す ) すると、
(Eq.61)

Eq.61 は リッチテンソルという。

リッチテンソルは次のように対称 R_ij = R_ji である。
(Eq.62)

ここで Eq.59 を使った。

さらにリッチテンソルを縮約して、
(Eq.63)

これを スカラー曲率 という。

次の関係式を証明する。
(Eq.64)

Eq.64 は ビアンキの恒等式という。

Eq.64 は５階のテンソルである。つまり Eq58 から Eq.60 のように、もし Eq.64 の局所慣性系で関係を証明できたら、 Eq.64 は一般化されたリーマン空間でも成り立つことになる。
局所慣性系では、クリストッフェル記号 (= g の１次導関数 ) は局所的にゼロである。
( ｇの２次導関数はゼロでないかもしれない。 )
つまり Eq,55 より、
(Eq.65)

Eq.65 の３つの式を足すと、右辺はゼロになり、 Eq.64に等しくなる。