楕円体面上の極座標表示
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地球は回転楕円体と見なせます。 この楕円体面上の点Ｐ（ｘ, ｙ, ｚ）を緯度θの関数として表すことができれば、 θ1 からθ2 まで移動したときの孤長Ｓは、次の式で求めることができます。   図のように、地球の中心Ｏから地表面にある点Ｐまでの距離をｒ、 ＯＰと赤道面（ｘｙ平面）とのなす角（地心緯度）をφ、ｘ軸から東回りに測った経度をλとすると、 直交座標（ｘ, ｙ, ｚ）と極座標（ｒ, φ, λ）の関係は、次のようになります。  ここで、まず、子午線に沿って移動すれば経度は変化しないので、λは定数と見なせます。 あとは、ｒをφで表すことができれば、緯度の１変数関数として扱うことができます。 回転楕円体の赤道半径をａ、極半径をｂとすると、Ｐ（ｘ, ｙ, ｚ）は、次の方程式を満たします。  今、ｒとφの関係を見たいだけなので、３次元よりも２次元に、次元を下げた方が分かりやすいでしょう。 λ＝９０度として、ｙｚ平面で考えます。  となるので、  変形すると、  ｒ＞０なので、  これでｒをφで表せたので、１変数関数にすることができます。 ここまで来て、「あれ？」と思っている方もいるかも知れません。 冒頭で、緯度をθで表していたのに、最後には緯度がφになっています。 なんで違うの？・・・と疑問を持たれた方はするどい！ 実は、「地心緯度」と「測地緯度」の違いです。 これについて、次回、詳しくお話したいと思います。 |
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