ベクトルの誕生
|
|
【３要素の四元数】 ハミルトンのそもそもの動機は「３次元の空間を目盛る数はないのだろうか？」ということであり、 考えていくうちに、１つの実数単位と３つの虚数単位を用いた「四元数」に至りました。 ３次元を表現するのだから、要素が３つである方が望ましいのですが、 a ＋ bi ＋ cj ＋ dk に対して、d = 0 とすると「三元数」であり、これはダメでした。 では、a = 0 にすると、どうでしょうか？ ①「共役四元数との積が、絶対値の２乗になる」 ②「四元数の積も、やはり四元数」 これら２つの性質をチェックしていきましょう！ 実部が 0 である四元数 xi ＋ yj ＋ zk に対する共役四元数は - xi - yj - xk です。これらの積は、  となり、①が成り立ちます。次に、②を確認します。 実部が 0 である２つの四元数 xi ＋ yj ＋ zk と pi ＋ qj ＋ rk の積が四元数になるかどうか？  となり、四元数ですから、②も成り立ちます。 これらのことより、実部が 0 である四元数が“空間を目盛るための数”として使えることが分かりました。 【ベクトルの誕生】 実部が 0 である四元数 xi ＋ yj ＋ zk の平方は  であり、これは四元数の絶対値の２乗である「 x2 ＋ y2 ＋ z2 」に近い形をしています。 前についている負号がなければ一致するのですが、この負号をなくすには、どうすれば良いでしょうか？ 元々、( xi ＋ yj ＋ zk )2 = x2ii ＋ y2jj ＋ z2kk であり、 i も j も k も２乗すると -1 になるから、負号が出たわけです。 ということは、i も j も k も２乗すると 1 にすれば良いのでは？・・・という発想。 （ただし、ij = -ji = k、jk = -kj = i、ki = -ik = j は踏襲します。） すると、平方したものが絶対値の２乗と一致します。 このような経緯から誕生したのがベクトルです。 ここでの i、j、k は、２乗したときに -1 になることを放棄していますから、 もはや、xi ＋ yj ＋ zk は四元数ではありません。 すなわち、３次元空間を目盛る“１つの数”ではありません。 ３次元空間を３つの成分（ xi と yj と zk ）の和として表現しているのです。 【ベクトルの積】 実部が 0 である２つの四元数  の積について見ていきましょう！  最後の式で、最初の項は、同じ要素どうしの積になっています。 “家の内のものどうしの積”であり、これを「内積」と言います。 一方、後ろ３つの項は、異なる要素どうしの積になっています。 “家の外のものどうしの積”であり、これを「外積」と言います。 この考え方を、ベクトルの積についても踏襲すると、２つのベクトル  の積は、  となります。このうち、  が「ベクトルの内積」で、  が「ベクトルの外積」です。外積はベクトルなので「ベクトル積」とも言います。 さて、ようやく、ベクトルを用いて三角形の面積を用いる準備が整いました。・・・次回に続く。 |
|
|