三元数
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【連載 面積】における目標は、「球の表面積の公式」を理解することです。 今、「ベクトルの外積」を学ぶために、「四元数」に取り組もうとしている最中でした。 １次元の直線を目盛る数として実数（一元数）があり、２次元の平面を目盛る数として複素数（二元数）があり、 そして、３次元の空間を目盛る数として三元数を検討しています。  で表される三元数（ x, y, z は実数、i は虚数単位、A は第３の要素）の A に対して、 どのような性質が必要なのでしょうか？ 【共役三元数との積が、絶対値の２乗になる】 複素数 a ＋ bi と、その共役複素数 a − bi の積は、絶対値の２乗になります。  三元数にも同じ性質が期待されます。 三元数 x ＋ yi ＋ zA の共役三元数を、どのような形になるか分からないので、 ここでは、x ＋ yB ＋ zC と置きます。すると、  これが、絶対値の２乗である x2 ＋ y2 ＋ z2 と等しくなるためには、  これらより、まず、B = - i であれば良いことが分かります。 また、C = - A なので、- A2 = 1 すなわち、A2 = -1 であり、 A は虚数単位 i と同じような性質を持つべきであることが分かります。 ここでは、i と区別するために j としておきましょう（ A = j、C = - j ）。 最後に、i と j の関係については、AB ＋ Ci = 0 より、j(-i) ＋ (- j)i = 0 ⇔ ji = - ij。 したがって、第３の要素 j に対して、j2 = -1、ji = - ij という性質を持たせれば良いわけです。 【三元数の積も、やはり三元数】 複素数と複素数の積は、やはり複素数になります。  三元数にも同じ性質が期待されます。 三元数 x ＋ yi ＋ zj と三元数 u ＋ vi ＋ wj の積について見ていきましょう。  となり、ij の項が余計です。 ij = a ＋ bi ＋ cj の形で表すことができれば良いのですが、果たして可能でしょうか？ 試しに、左から i を掛けると、  となりますが、c が実数であることから、、c2 ＋ 1 が 0 ではないため、成り立ちません。 【四元数の発想】 以上のことから、空間を目盛る数として三元数を採用することは難しいように思われます。 しかし、諦めるのは、まだ早い！ ３種類の要素を用いてダメだったからと言って、３種類“以上”の要素でダメとは限らないのです。 ij = a ＋ bi ＋ cj というように、ij を、あくまで三元数の枠内で考えると不都合が生じました。 そこで、ij = k というように、第４の要素を導入してみてはいかがでしょうか？ w ＋ xi ＋ yA ＋ zB という４種類の要素を用いた数、すなわち「四元数」を考えてみるのです。 ハミルトンは諦めませんでした。・・・次回へ続く。 |
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