区分求積法と積分計算
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【区分求積法による面積の求め方】 【連載 面積（＃０１）】では、直線のみで囲まれた図形「多角形」の面積の求め方を紹介しました。 今回は、図形の一部が曲線の場合、その図形の面積をどのようにして求めるかを考えます。 例として、２次関数 y = x2 とｘ軸、直線 x = 1 で囲まれた図形の面積・・・（S）を求めることを考えます。 「２次関数」をまだ知らない人は、まず、２次関数について学びましょう！・・・中学３年生の数学の出番です。  上図のように、区間 [0, 1] をｎ等分して、 区間 [(k-1)/n, k/n] を底辺、k = 1, 2, ・・・, n に対し、(k/n)2 を高さとする長方形を作ります。 このとき、これらの長方形の面積の和は、次のように表されます。  どうして、このようになるのかは、高校２年生で学ぶ「数列」を学べば分かります。一緒に勉強しましょう！ 上の式で表された「長方形の面積の和」は、ｎの値が大きくなるにつれて、面積（S）に近づくはずです。 ・・・というわけで、ｎを無限大にした極限をとってみましょう！  「極限」については、高校３年生で学びます。学年に関係なく、向学心旺盛な人、集まれ！ 以上により、２次関数 y = x2 とｘ軸、直線 x = 1 で囲まれた図形の面積（S）が「1/3」と求まりました。 このようにして求める方法を「区分求積法」と言います。 【積分計算による面積の求め方】 ところで、２次関数 y = x2 を区間 [0, 1] で積分すると、どうなるでしょうか？  「積分」については、高校２年生で学びます。「微分」と併せて学びましょう！ 積分計算による「1/3」という値、区分求積法で求めた面積の値と一致しています。 これは、この例だけの偶然ではなく、どのような場合においても、必ず一致します。 そこで、面積を求めるときに積分計算を利用しよう！・・・ということになりました。 接線の傾きを求めるときに微分計算をしました。微分の逆計算が積分ですが、 「接線の傾きの逆が、どうして面積なんだ？」という疑問を持ったことはありませんか？ 特に因果関係はありません。面積を求めるときに、積分計算を利用しているだけのことです。 「面積を求めるための操作が積分である。」ということではなく、 「面積を求めるときに、たまたま積分が使える。」というだけのことです。 【高校数学「数学Ⅱ・B」「数学Ⅲ」に挑戦！】 その一部に曲線がある図形の面積を求める場合、 高校２年生あるいは３年生で学ぶ数学の内容を理解する必要があります。 「一気に難しくなるな～。」と、怖気ついてしまいそうですが、 「知りたい！」「理解したい！」という向学心さえあれば大丈夫！！ （逆に、その気持ちがなければ、学校授業もつまらないものになってしまうでしょうが・・・。） 人に言われて動くのではなく、自分から積極的にアクションを起こしてみましょう！ その方が、人生、絶対に楽しいですよ♪ |
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