正規分布を用いるＺ検定
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【二項検定の限界】 １回の試行で、事象Ａが起こる確率を p、Ａが起こらない確率を q = 1 - p とするとき、 独立な試行をｎ回行ったときに事象Ａがｒ回起こる確率は次のように表されます。  二項検定は、この式で表される確率分布である二項分布を用いる検定法でした。 この式を用いれば、いかなる（ｎ、ｐ）の組に対しても、その確率を求めることが理論的には可能なのですが、 実際には、ｎが大きくなると二項係数  の値が非常に大きくなるので、それほど簡単な話ではありません。 ちなみに、表計算ソフト「Excel」の計算能力では、n = 1029 までが限界です（３０９桁になる）。 【正規分布】 大きいｎに対しては、二項分布の近似を行います。 この近似において核となるのは「スターリングの公式」です。・・・詳しくは授業にて♪  二項分布を近似して得られる確率分布を「正規分布」と言い、上の式で表されます。 ここで、μは母平均で、σは母分散の平方根（標準偏差）です。 フランスの数学者アブラーム・ド・モアブル（１６６７－１７５４）が １７３３年に、二項分布の極限として導入したのが始まりです。 ド・モアブルは、 高校３年生で学ぶ「数学Ⅲ」の「複素数平面」で登場する「ド・モアブルの定理」でお馴染みです。 【標準正規分布】 正規分布の中で特別なものを「標準正規分布」と言います。何が“標準”なのでしょうか？ 通常の正規分布の場合、母平均や母分散の値が異なれば、グラフの形も変化します。 毎度毎度、異なるグラフを扱わねばならず、かなり厄介です。 扱うグラフが常に同じであれば、これに越したことはありません。 確率変数Ｘから母平均μを引き、標準偏差σで割る、といった変数変換を行うと、 どんな正規分布であろうと、同じグラフにすることができます。  この変数変換を「標準化」と言い、この変数変換によってできた正規分布を「標準正規分布」と言います。  【Ｚ検定】 正規分布を用いる検定は「Ｚ検定」と呼ばれます。 「Ｚ」の由来は、推測なのですが「ゼロ（zero）」ではないでしょうか。 Ｚ検定は、正しくは“標準正規分布を用いる検定”であり、 標準化をすることで、確率変数が「平均０、分散１」になります。 この「平均０」に因んでいるのではないかと思われます。 |
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