06.05 正二十面体の星形化 (5)



正二十面体の星形化をいくつか作りましたので，展開図を少しずつ公開します。

文献によると，これには59種類の星形化があるそうです。
中には，かなり複雑で，小生にはお手上げのものが多いのですが，簡単なものから少しずつ作っています。
立体図形の模型作りはこれまでに，

1．プラトンの立体＝正多面体 5種類
2．アルキメデスの立体＝準正多面体 13種類
3．カタランの立体＝アルキメデス立体の双対 13種類
4．ケプラー・ポアンソの多面体
5. 立方体の複合体

正二十面体の星形化シリーズ計画は，6種類目のシリーズになります。

また，この記事はブログ「立体図形の模型作り」にすでに公開してあるものの再掲です。

さて，正二十面体の星形化には59種類があるとされているようですが，その全貌はコクセターという先生の本にまとめられています。
中身が難しいのできちんと理解しておりません。
それに英語の本なので大変です。
徐々に，それについても書いていきたいと思います。

ここでは，ウェニンガーという先生の本に基づいて番号付けなどをしたいと思います。

「多面体の模型　その作り方と鑑賞」，マグナス・J・ウェニンガー著／茂木勇訳，教育出版
という本です。

この日本語訳は図書館で見ましたが，本屋には絶版になっていて，なかなか手に入りません。
原著はMagnus J. Wenninger, ”Polyhedron Models", 1971, Cambridge.
で，このほうが手に入りやすいです。

正二十面体の星形化第5作目です。
今回は前回の正二十面体の星形化(4)と同じく点接合方式の模型です。
部品の数は12個で，完成するとがっしりとして，固い床の上に落としても壊れないほど頑丈です。

ウェニンガー先生の本によれば，「正二十面体の第5星形化」です。
いままでの作品をリンクすると，
第1星形
第2星形
第3星形
第4星形

さて，第5星形化は５色モデルを作りました。
展開図は5色モデルに加え単色モデルのも掲載します。
後で書きますが，5色モデルの作り方は煩雑です。
とりあえず，単色模型で試してみると良いかもわかりません。

とりあえず写真を。

隣の画像はCDの紙ジャケです。
模型のサイズが分かるように，目のガイドとして並べました。
12個の帽子の形からできています。

3つの方向から見た写真をどうぞ。


面を形作る三角形は，下の図の黄色の部分です。
最も外側の正三角形の辺の上の点は，黄金分割の点です。

この図が20枚あるとして，中心の青い正三角形を，正二十面体の20個の面に貼り付けていけば，「正二十面体の第5星形化」の構成完了です。
三角形とくさび形です。
三角形は上の写真にも写っていますが，くさび形は帽子の形の底に5枚付いているので，外からの写真では見えにくいです。
こんな形です。

これを12個点接着させていきます。

5個の帽子形を次の図のような星形に並べていきます。
パレットに2個並べている様子も示します。

クリックすると画像が拡大されます。
空いた穴の場所で接着すれば，パレット面に固まることはありません。
他の余分の穴は他の立体に使いまわした穴ですので，今は関係ありません。

展開図をアップしておきます。
展開図の大きさに対応したパレットのもいっしょにどうぞ。
---> <正二十面体の星形化(5)の展開図ダウンロード>

ここで，5色模型の作り方について，少し書きとめます。
展開図のpdfを見てもらうと，分かりやすいと思います。
5色模型の場合，帽子形にはAからＬまでの12個のアルファベットを割り当ててあります。
A〜Fが上半分，G〜Lが下半分に対応します。
１）まず，A〜Eをパレット上で接着します。
２）それに，Ｆを乗せるように接着して，上半分完成。
３）次に，G〜Kをそれらを，パレット上で接着します。
４）それに，Lを乗せるように接着して，下半分完成。
５）上半分と下半分を重ねて接着して完成。
という方法が分かりやいと思います。

任意に組み立てると配色がぐちゃぐちゃになります。
A〜Lのどの点同士を接着するかをまとめた図がありますので，掲載しておきます。

写真だけでは，図形の形状がわかりにくいので，
いつものように，分かりやすいように，全体の見取り図をパソコン画面上で動かせるようにしました。
ぜひ動かしてみてください。

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注１：Windows ではうまく動くのですが，Macでは失敗します。Cabriのサポートに問合せてみているのですが，一向に返事がありません。Macユーザの皆さん，ご了承ください。
注２：Windowsで別ウィンドウに表示されるはずですが，うまくいかないときは，その別ウィンドウの表示をF5キーで更新してみてください。
注３：それでもWindows で表示がうまくいかない場合，「互換表示」の設定を行ってみてください。PlugInのバージョンが対応していない模様です。よろしくお願いします。
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下の図にリンクしてありますので，クリックしてみてください。
まず新しいウィンドウでプラグインのインストールについてのセキュリティの確認をすると，
Cabri3Dというソフトのプラグインがインストールされます。
インストールに同意して，インストールが終了すると，見取り図が表示されます。
その見取り図の上にカーソルを置いて，マウスの右ボタンを押して動かすと，マウスのポインターが回転用の矢印に変わります。

すると，図が回転して立体の形がよくわかります。


<正二十面体の星形化(5)を動かす>

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