2.4.6　多評価基準による最適化　第１章へ戻る　　　　　　　目次（第２章）へ

　複数の評価基準によるシステムの最適化の方法に、階層化分析法（　Analytic Hierarchy Process ＝ ＡＨＰ ）や妥協的計画法（　Compromise Programming ＝ ＣＰ ）がある。

2.4.6.1　階層化分析法（ＡＨＰ）

　大規模，複雑なシステムの問題解決に，主観的評価を加えた階層化分析法（　Analytic Hierarchy Process ＝ ＡＨＰ ）は，極めて有効で広く応用されている．( ahp.doc )　ＡＨＰの概要と手順を次に示す．

　a)　ＡＨＰの手順

　手順１　抽象的な全体目的から，しだいに具体的な複数の下位目的へと目的の階層をとらえる．最下位レベルの要素は代替案である．（第１図）

　　　　　　　　　　　　レベル１ 　　　　　　　　　　全体目的

　　　　　　　　　　　　レベル２ 　　　　　　下位目的 　　　下位目的 　　　下位目的

・

　　　　　　　　　　　　レベルＬ 　　　　　　　　代替案 　　代替案 　　　　　代替案

　　　　　　　　　図2.26　目的階層

　手順２　各階層レベル内の要素A _i ，A _jについて，直接上位目的に対して，一対比較を行ない，“直接上位目的の達成に， A _i ，A _jではどちらがどれくらい重要か（あるいは，寄与するか）”を比率で答える． A _i のほうがA _jより重要のときは，その比率a _{i j}≧１を( i，j )成分に表わし，( i，j )成分には逆数1/a _{i j} を記入して，一対比較行列A＝( a _{i j} )を求める．

　手順３　各一対比較行列Ａの最大固有根に対する（成分和を１に）正規化した固有ベクトルを求め，それを直接上位目的に対するプライオリティ（＝ウエイト）とする．

　手順４　階層レベルに沿って手順３で求めたプライオリティを合成し，代替案の総合プライオリティを求める．

　b)　手順２

手順２では，意思決定者の負担を軽くするため，一対比較の際，次の対応表が与えられており，“同じ位”，“少し”，“かなり”，“非常に”，“圧倒的に”といった“幅のある”言葉で答えることができる．

（2,　4，6，8は中間のときに用いる）

　この対応表のように，一対比較行列をつくるときそれらは１〜９の数値に変換されるが，どんな場合にもこの言葉に１〜９の数値を対応させねばならないというものでなく，問題ごとにあったスケールを用いればよい．ただ，次のように，１〜９のスケールがかなりよく個人の選好をとらえているという８．

　(i) 真のウエイトが分かっている問題で調べると，よくあてはまること，(ii) 簡単な１〜９のスケールを用いても固有ベクトルの非線形な振舞いが，非線形な認知スケールを表わすことができる．(iii) 固有ベクトルは幾分スケールに左右されないところがある．

　c)　手順３

　手順３では，一対比較行列Ａから

Ａw＝λ_max・w

を解き，wをプライオリティとする．ここで，λ　はＡの最大固有根を，wは対応する固有ベクトルを表わす．プライオリティだからwの要素は負や０になったら困るが，Perron-Frobeniusの定理より，wはいつも正のベクトルになることが保証されている．さらに，すべての一対比較行列について，λ_max ≧ｎが成立ち，等号はＡに整合性（すべてのｉ，ｊ，κについて，a _{i j}×a _{i k}＝a _{i k}が成り立つとき，Ａに整合性があるという）があるときのみに限る．ここで，ｎは要素の数である．

　λ_maxは整合性がなくなればなくなるほど大きくなるので，どの程度整合性があるかのチェックには，整合度ＣＩ (consistency index)

ＣＩ＝（λ_max−ｎ）/（ｎ−１）

が用いられ，これがあまり大きいと一対比較をやり直さねばならない．

　もちろん，人間の判断の能力の限界から，いくら一生懸命に答えても，Ａが完全に整合性を満たす（すなわち，ＣＩ＝０）ことはふつう無理なことであるができるだけ０に近いのが望ましい．もちろん，整合性を満たしているが全く正しくない一対比較行列もあるが，少なくとも整合性があまり大きいと，答えに矛盾が大きいことを意味するので，整合性がある程度満足する（ＣＩが０に近い）ように，一対比較をやり直す必要がある．ところで整合度ＣＩがどれくらいなら整合性のチェックをパスしたと考えてよいかについては，（一対比較判断を全くでたらめに行なった場合でもＣＩが計算できるので），経験的には要素の値をランダムに与えてできる行列から計算したＣＩの平均（これをランダム・インデックスＲＩという）で割った整合比ＣＲ（＝ＣＩ/ＲＩ）が0.1以内がひとつの目安として考えられる．最近，要素の数ｎが３のときは正確な分布に基づき，ｎが４以上のときは，2,500のサンプル（Saaty ¹³はサンプルの大きさ500で推定している）をもとに推定した分布から，ＲＩを求め，でたらめに与えた一対比較行列のＣＲが経験則0.1以下になる確率を求めている ¹⁸．（表2.12，2.13参照）

表2.12　ランダム・インデックスＲＩ

表2.13　要素をランダムに与えた一対比較行列のＣＲが0.1以下になる確率

この表2.13から分かるように，ｎが５以上のときは経験則は十分満足いくものであることがわかる．ただ，ｎ＝３および４のときは，でたらめな一対比較行列でも経験則で与えた値以下になることがそれぞれ21％，3％の割合で起こることになる．そこでｎ＝３，４のときは，基準をよりきつくして，ＣＲがそれぞれ0.0035，0.048（それらはそれぞれ5％，1％の点である）にすることを提案している ¹⁸．

　d)　手順４

　手順４では，代替案の総合プライオリティを求める段階である．いま，Ｌ階層からなる目的階層を考える．第１レベルは要素は一つで全体目的を表わし，Ｌレベルでは代替案からなるものとする．各κレベルにはＮκ要素があるとする．

（κ−１）レベルのi要素に関するκレベルのプライオリティを

wκ, i ＝（w_{1, i}，w _{2, i}，…，w _Nκ, i ）Ｔ

とし，これを第i列ベクトルとするＮκ×Ｎκ− 1行列をＷκとする．

　代替案の総合プライオリティwは

w＝Ｗ_L×Ｗ_L−1×…×Ｗ₂

で与えられる．

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