（１１）√２は分数で表せない

　　　√２＝a/b（a,bは、整数）と表せるとします。

この両辺を二乗すると、

　２＝ａ２／ｂ２

　２ｂ２＝ａ２

ここで、左辺には素因数が奇数個あり、右辺には偶数個あることになり、つじつまがあいません。よって、

２ｂ２＝（　）２の形には変形できないことになります。

よって、√２は、a/bの形には表せない、つまり√２は、無理数と言うことになります。

ちなみに、このように「○○であるとすると、つじつまがあわない。だから○○ではない。」
というように推論する方法を「背理法」といいます。


次に、分母の有理化について説明します。
１／√２のように、分母にルートがついていてはいけませんよね。
そんな場合は、

（例）　 １ 　　 １　 √２　√２

　　　　――　＝――×――＝――

　　 　　√２　　√２　√２　 ２

のように、分母に√がつかないように、分母・分子に分母と同じ√の数をかけます。
これを「分母の有理化」（分母を√がつかない有理数にするので）といいます。
なので、同じ数でなくても、分母の有理化は、こんな風にも行います。

　　　　　 １　　　　　１　　　√３−１　　　√３−１　　　√３−１

　　　　――――　＝――――×―――――＝―――――――＝―――――

　　 　　√３＋１　　√３＋１　 √３−１　　（√３）２−１　　　２