教科書に載っているように、（ａ＋ｂ）２を展開すると、
（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２
ですよね。
では、
（ａ＋ｂ）３、（ａ＋ｂ）４ …、、、を展開すると、どんな式になるのでしょうか。
みなさんは、分配法則を知っているので、
地道にやれば、どんな式でも展開することができます。
例えば、
（ａ＋ｂ）３＝ （ａ＋ｂ）（ａ＋ｂ）２
＝
（ａ＋ｂ）（ａ２＋２ａｂ＋ｂ２）
＝ａ３＋２ａ２ｂ＋ａｂ２＋ａ２ｂ＋２ａｂ２＋ｂ３
＝ａ３＋３ａ２ｂ＋３ａｂ２＋ｂ３
（ａ＋ｂ）４＝ （ａ＋ｂ）２（ａ＋ｂ）２
＝（ａ２＋２ａｂ＋ｂ２）（ａ２＋２ａｂ＋ｂ２）
Ａ＝ａ２＋ｂ２とすると、
＝（Ａ＋２ａｂ）２
＝Ａ２＋４ａｂＡ＋４ａ２ｂ２
Ａ＝ａ２＋ｂ２だから、
＝（ａ２＋ｂ２）２＋４ａｂ（ａ２＋ｂ２）＋４ａ２ｂ２
＝ａ４＋２ａ２ｂ２＋ｂ４＋４ａ３ｂ＋４ａｂ３＋４ａ２ｂ２
＝ａ４＋４ａ３ｂ＋６ａ２ｂ２＋４ａｂ３＋ｂ４
でも、（ａ＋ｂ）５、（ａ＋ｂ）６ …、、、は、もう勘弁ですよね。
では、この式の展開を１分以内に完成させる技をお教えしましょう。
ａ＋ｂ＝１ａ＋１ｂ
（ａ＋ｂ）２＝１ａ２＋２ａｂ＋１ｂ２
（ａ＋ｂ）３＝１ａ３＋３ａ２ｂ＋３ａｂ２＋１ｂ３
（ａ＋ｂ）４＝１ａ４＋４ａ３ｂ＋６ａ２ｂ２＋４ａｂ３＋１ｂ４
青色の係数の部分だ取り出してみると、
１ １
１ ２ １
１ ３ ３ １
１ ４ ６ ４ １
この規則性に気がつきましたか？
下の段の数字は、すぐ上の段の左斜め上の数字と右斜め上の数字の和になっています。
この三角形型の数列を「パスカルの三角形」と言います。
ということで、これをもう少し続けると、
１ １
１ ２ １
１ ３ ３ １
１ ４ ６ ４ １
１ ５ 10 10 ５ １
１ ６ 15 20 15 ６ １
ですから、
（ａ＋ｂ）５＝ａ５＋５ａ４ｂ＋10ａ３ｂ２＋10ａ２ｂ３＋５ａｂ４＋ｂ５
（ａ＋ｂ）６＝ａ６＋6ａ５ｂ＋15ａ４ｂ２＋20ａ３ｂ３＋15ａ２ｂ４＋6ａｂ５＋ｂ６
どうして、こうなるのかについては、後で「順列・組み合わせ」のところで、説明します。
