新しいボーア模型によるネオン（Ne）

トップページ (２電子原子も含む正確な新ボーア模型)
電子スピンは実在しない

我々の新しいボーア模型によって、ヘリウム原子の基底状態エネルギーの計算で、量子力学的な変分法よりも正確な結果をだすのに成功した。（トップページ参照のこと）。
この成功した新ボーア模型では、ヘリウム原子 (He) の２つの電子は、ちょうど１ド・ブロイ波長の互いに垂直な軌道上を運動している。
また、この新しい原子模型は、パウリの排他原理の現象も正確に説明できる。なぜなら、この新しいボーアの２電子原子には、３つめの電子が入りこむスペースがないからだ。

驚くべきことに、この新しいボーアのヘリウム構造は、他の２電子原子（イオン）である、リチウムイオン (Li+)、ベリリウムイオン (Be2+)、ホウ素イオン (B3+)、炭素イオン (C4+) にも正確にあてはめることができた。
（このページを参照のこと。）
さらに、３電子原子である、リチウム原子 (Li) のイオン化（基底状態の）エネルギーも、近似的なボーア模型の”２Ｓ”軌道を使用して、計算することができた。

• ボーア模型のネオンイオン (Ne 8+)
• ボーア模型のネオンイオン (Ne 7+)
• 推定されるボーア模型のネオン (Ne) 模型

ボーア模型のネオンイオン (Ne 8+)

それでは、我々は、この新しい原子模型を他の２電子原子（イオン）にもあてはめることができるだろうか？

Fig. 1. ２電子原子模型 ( He, Li+, Be2+, B3+, C4+ .. O6+.. Ne8+. )

ここで、ネオン原子のイオン化エネルギーを示す。

Table 1に示すように、1S 電子のイオン化エネルギー (赤い 数値) は、他のイオン化エネルギーに比べてかなり大きい。
このことは、ネオン原子においても、２つの "1S" 電子のみが他の電子よりも原子核にかなり近いことを示す。

ネオンイオン ( Ne8+ ) のイオン化エネルギーは、1195.83 + 1362.20= 2558.03 eV である。
（上の Table 1 を参照のこと。つまり、全（基底状態の）エネルギーの実験値は、-2558.03 eV である。）

我々は、Ne8+ の２つの電子軌道が Fig.1 のようになっていると仮定する。
詳細な計算方法は、トップページか、ボーアのリチウムのページを参照のこと。
ここでは、次のサンプルプログラムを使う。
（このプログラムでは、便宜のため次のような新しい単位を使う。 1 MM = 10^-14 meter, 1 SS = 10^-23 second, 1 MM/SS = 10⁹ m/s.）

２電子原子軌道の JAVA プログラム。
２電子原子軌道の C 言語 プログラム。

これらのプログラムでは、実行後 最初に Z = 10 のネオンの原子番号を入力するように。
Table 2 は、Ne8+ が様々なエネルギ−準位のときの、last VY (電子１が 1/4 周した後の速度の y 成分）がゼロになるときの r1 と WN ( 1/4 周の軌道に含まれるド・ブロイ波の数 )を示す。
（ last VY がゼロのとき、電子は、安定した軌道上を運動することができる。）

つまり、Ne8+ の全エネルギーが、-2563.0 eV のとき、１軌道に含まれるド・ブロイ波の数はちょうど 1.00000 となる。
上で言ったように、Ne8+ のエネルギーの実験値は、-2558.03 eV である。
誤差は、たった、5.00 eV である。Ne8+ のイオン化エネルギーはとても大きいため、誤差はたった、0.19% である。
( このわずかな差は Ne8+ イオンの 大きな正電荷が その周囲の なんらかの負の電荷を引きつけたせいと考えられる。)
つまり、酸素イオン (Ne8+) においても、２電子の軌道面は互いにほとんど垂直になるということができる。

ボーア模型のネオンイオン (Ne 7+)

ネオン原子の３番目の電子が、２ (１でなく) ド・ブロイ波長の軌道に入ることを確認するために、 ここでは、、３電子原子である、ネオンイオン (Ne7+) に挑戦することにする。
ネオンイオン (Ne7+) は、１Ｓ軌道に２つの電子と、２Ｓ軌道に１つの電子をもっている。
１Ｓの２つの電子は、10e+ の原子核に強くひきつけられているため、2S の電子に比べてかなり原子核に距離的に近いところにある。
つまり、近似的に、我々は２Ｓ電子が、 +8e 原子核 (+10e - 2e = +8e) の周りの２ド・ブロイ波長の円軌道を回っているとみなすことができる。
（これは、我々が２Ｓ電子において、近似的に水素原子の式を使えることを意味する。）

ボーア模型によれば、n × ド・ブロイ波長の軌道の半径 (Rb) は、次のように なる。

( z = 1 と n = 1　のとき、 Rb はいわゆる”ボーア半径”となる。)
Ne7+ の 2S 電子では、原子核の陽電荷 z は、8+ と近似的にみなすことができ（上を参照）、また、n は 2 である。
計算すると、この Rb は 4/8 × ボーア半径 ( = 0.2645 × 10^-10 meter ( = 2645 MM ) となる。
（ここでは、便宜のため次のような新しい単位を使う。 1 MM = 10^-14 meter, 1 SS = 10^-23 second, 1 MM/SS = 10⁹ m/s.）

水素様原子のエネルギー準位は、

Ne7+ の 2S 電子では、n=2 と z=8 をこの式に代入する。
そのため、ネオンイオン (Ne7+) の原子模型をつぎのように仮定できる。

Fig. 2. ネオンイオン (Ne7+) 模型

１Ｓの２つの電子はなるべく２Ｓ電子を避けるように運動する。そこで、我々は２Ｓ電子を Fig. 2. に示すように ( 0, - Rb / √2, - Rb / √2 ) に固定する。
(Fig.2 は３つの電子の相対的な位置関係を示している。実際は、この２Ｓの電子は１Ｓの電子よりもゆっくりと核の周りを周回している。)

Ne8+　のように (このページも参照のこと)、電子１が、(x, y, 0) にあるとき、電子２は、 (-x, 0, y) にある。 つまり、各粒子間の距離は、

となる、ここで、ra は電子１と核の距離、rb は２つの 1S 電子間の距離、rc は電子１と 2S の電子の距離である。

電子１の加速度 (m/sec²) の ｘ成分は、

となる。

同様に、電子１の加速度 (m/sec²) の y成分は、

となる。

また、Ne8+ のときのように、1S 軌道の 1/4 周に含まれるド・ブロイ波の数を計算する。

JAVA プログラム ( ３電子原子 )
C 言語 プログラム ( ３電子原子 )

上記のプログラムでは、最初に ネオンの原子番号 Z = 10 を入力するように。
Table 3 は、Ne7+ において、 last VY （電子１が 1/4 周した後の速度の y 成分）がゼロに一番近い時の結果を示す。

この結果は、Ne7+ イオンの基底状態エネルギーが -2791.17 eV のとき、軌道の長さがド・ブロイ波長の ちょうど 1.00000 倍になることを示している。
ネオンイオン (Ne7+) の基底状態のエネルギーの実験値は、-239.09 -1195.83-1362.20 = -2797.12 eV である。
つまり、計算誤差は、わずか 5.97 eV ( 0.21 % ) である。
(この小さな計算誤差は、おそらく、”近似的な”２Ｓ電子軌道を用いたことによると考えられる。)
このことは、ネオンイオン (Ne7+) の３つの電子が、 Fig. 2　に示すように運動していると言ってほぼ間違いないということを意味する。
(つまり、酸素原子の３番目の電子は、２ （１でなく） ド・ブロイ波長の軌道に入る。)

推定される ボーア模型のネオン (Ne) 模型。

中性のネオン (Ne) においては、８つの 外殻 軌道の電子（価電子） はどう動いているのだろうか？
ネオンは、１０の電子をもっており、そのうち、２つの 1S 軌道の電子は　原子核にとても近づいている。（上の Ne7+ のセクションを参照のこと。）
つまり、近似的に、８つの外殻電子が +8e の中心核 (+10e-2e = +8e) の周りを周回している。

(Fig.3) 中性のネオン模型。

８つの価電子 ( e0 - e7 ) 間の クーロン反発力を考慮すると、これらの外殻電子は 正六面体のように分布していると考えられる。
この正六面体の構造が 8つの価電子が最も安定になる構造である。

しかし 炭素などの他の原子と異なり、Fig.3 模型では 上下部の価電子は 原子核の周囲を周っているときに 互いに衝突してしまう。

(Fig.4) 上下部の価電子の衝突。

トップページに示したように、ミステリアスなパウリの排他原理は 互いに垂直な ２つの 1s 軌道によって生じる。
つまり ネオンのような希ガスにおいても このドブロイ波の性質が 自然に関係していると考えられる。
この衝突を回避し、ヘリウムの垂直なドブロイ波を用いると、８つの外殻電子の軌道は 次のようになると考えられる。

(Fig.5) 中性のネオンの ８つの外殻電子の軌道。

Fig.5 では、例えば 電子 3 と 5 ( e3 と e5 ) の軌道は 共通の頂点を持ち、次のように 互いに垂直である。

(Fig.6) 互いに垂直な軌道。

Fig.5 の模型では、８つの価電子は 互いに衝突しない。
また ８つの価電子は Fig.8 のように 互いに通過するとき 単一の共通の平面に 入る必要がない。
( つまり Fig.8 の模型は 少し修正する必要がある。)

そして 共通の２つの頂点を共有する ２つの電子の軌道は トップページのヘリウム模型のように 互いに垂直である。
( ペアは e1-e7、e3-e5、e2-e4、e0-e6 である。)
つまり ８つの価電子は 各自の異なった軌道を持っている。
多面体の対称的な構造と ドブロイ波の干渉を考慮すると、この８つの価電子が n = 2 (= ２ドブロイ波長 ) のエネルギー準位の限界であると考えられる。
( n = 1 と異なり 動径方向のドブロイ波のために 軌道は長円形になり得る。)

[ ネオン構造の例。 ]

ここでは ネオンの ８つの価電子が クーロン相互作用のみを考慮して 約 2 ドブロイ波長の軌道を回っていることを確認する。
そのため この単純な模型は 真実ではないが だいたいのイメージをつかむことができる。
２つの 1S 電子は 実際には +10e の原子核から少し離れている。
結果的に、”実質的な”中心正電荷は +8e よりも少し大きくなる。
では、この”実質的な”中心正電荷はどれぐらいになるのだろうか？

上の Ne7+ の項に示したように、水素様原子のエネルギー準位は、

もし、Ne7+ の ２つの 1S 電子が +10e の原子核に完全にくっついているとしたら、我々はこの式に n=2, z=8 を代入しなければならない。
つまり、全エネルギー (E) は、-13.606 (H) × 64/4 = - 217.696 eV. となる。
しかし、Ne の 8th イオン化エネルギーは、239.09 eV. である。
上の式で、-217.696 eV のかわりに -239.09 eV を使うと、z は +8.384 となり、これは +8 よりも少し大きい。
価電子の数が増えるにつれて、我々が 1S 電子が原子核から少し離れていることを考慮した場合のエネルギーの変化量は小さくなっていく。
しかし一方で、価電子の数が増えるにつれて、イオン化エネルギー自体も小さくなっていく。

ここでは、次のサンプル JAVA プログラムを使って８つの価電子の視覚化にトライする。
サンプル JAVA プログラム (Ne) (central charge = +8.4e)

また、８つの 価電子は、互いに避け合って、かつ対称的に核の周りを動いていると思われる。
正多面体の中で、正六面体 が、８つの頂点 ( = ８つの価電子 ) をもっている。
しかしもしネオンの８つの外殻電子が正六面体のように配置されていると仮定すると、軌道を周回している間に Fig.7 に示すように、互いにぶつかってしまう。
そのため、それらの運動のすべての場面を考慮すると、正六面体の片方のサイドを 45° 回転させてみる (Fig.7)。

(Fig.7) 推定されるネオンの電子の運動。

このプログラムでは、ネオン原子核は、灰色の円 (Fig. 8 参照)で表示している。
また８つの電子は、e0,1 (白)、e2,3 (赤)、e4,5 (緑)、e6,7 (黄)の円でそれぞれ示してある。
x, y, z 軸は Fig.3 に示す軸と同じである。
左、真ん中、右の図はそれぞれ、x-y, x-z, y-z 平面を表している。
また、各電子の速度ベクトルは線で示してある。

(Fig.8) プログラム中のネオン原子核と８つの価電子 (wn=0.0)

テキストボックス内の電子の各座標 (+X (MM), +Y (MM), +Z (MM)) は、この原子核からの”相対的な”位置座標を示している。
ここでは次のような新しい単位を用いている。

"nuc (MM)" は、核と各電子の間の距離を意味している。
"VX: VY: VZ" は電子の初速度の各成分の比を示している。
つまり、(VX: VY; VZ)=(100:100;0) は、(VX: VY: VZ) = (10:10:0) と同じ意味である。

スクロールバー (0.1 -- 2.0) の中から、ド・ブロイ波の数 (=wn) を選んで、"orbit" ボタンをクリックすると、このプログラムは、軌道に含まれるド・ブロイ波の数が wn になるまで電子軌道計算を続ける。
詳細な計算方法については、トップページを参照のこと。
微小時間 (1 SS) ごとに、８つの電子と核の間のクーロン力を計算し、その結果を基に各速度ベクトルを変化させていく。
また、各電子につき、微小区間に含まれるド・ブロイ波の数も計算していく。
(このプログラムでは、８つの価電子の全エネルギーは、第１〜８のイオン化エネルギーの合計である、- 953.6126 eV としている。)
このプログラムは、テキストボックスと模式図としての両方に、各電子の最後の座標と速度ベクトルの結果を表示する。
それから、"return" ボタンをクリックすると、すべての電子は、また最初のスタートラインの状態に戻ることができる。
また、"radius" ボタンの隣のテキストボックスに r (MM) (Fig.3参照) の値を入力して "radius" ボタンをクリックすれば、Fig.3 に示すように、ネオンの大きさ（半径）が変化する。

最初に、r (MM) として、2925 の値を入力して "radius" ボタンをクリックしてみる。
(この場合は、Fig.3 の r の値は 2925 (MM) となり、原子核と各電子の最初の距離 (=nuc) は 3582.37 MM となる。)
次に、スクロールバーの中から、ド・ブロイ波の数 (wn) として 0.5 を選んで、"orbit" ボタンをクリックしてみると、計算が開始して、次のようなイメージ結果が表示される。

(Fig.9) wn = 0.5 におけるネオン原子の電子

電子が、0.5 ド・ブロイ波長分の軌道を進んだとき (wn=0.5)、ネオンの８つの価電子はすべて、x-y 平面近くに位置している。 (Fig. 5 右図)
また、この地点 (wn=0.5) では、原子核と電子の距離は約 3555.09 MM である。
隣接する電子同士の距離は (2 π × 3555.09) / 8 = 2790.74 MM である。
トップページ に示したように、新しいボーア模型のヘリウムの半径は約 3000 MM である。
つまり、この距離では、ド・ブロイ波どうしが互いに絡み合って相互作用していると考えられる。

次に、"return" ボタンをクリックして、wn=0 の最初の状態に戻ろう。
それから、スクロールバーの中で 1.0 の値をド・ブロイ波の数 (wn) として選び、また"orbit" ボタンをクリックする。(Fig.10)

(Fig.10) wn = 1.0 におけるネオン原子の電子

このイメージ結果は、電子が 1.0 ド・ブロイ波長分の軌道を進んだとき、ネオン原子の８つすべての価電子は、その最初の位置から正反対のところに移動していることを示している。
wn=1.0 の地点では、原子核と電子の間の距離は 3379.18 MM となる。

また、"return" ボタンを押して、今度は 2.0 の値を選択し、"orbit" ボタンをクリックしてみる。
結果は、Fig.11 に示すようになる。

(Fig.11) wn = 2.0 におけるネオン原子の電子 (=ほぼ wn=0.0 と同じ。)

この結果は、８つすべての電子が、2.0 ド・ブロイ波長分の軌道を進んだときに元の位置に戻ることを証明している。

この結果はとても重要である。
８つの価電子の全エネルギーがある値 (=-953.6126 eV eV) に決定すると、１軌道の平均の長さはだいたい一意的に決まる。
(このことは、全エネルギーの値を決めると、平均の軌道長、すなわち１軌道に含まれるド・ブロイ波の数が”自動的に”決まることを意味している。)
そして、この波の数が、中性のネオン原子の場合は 2.0 になることが証明された。
(つまり、この結果は、ネオンの８つの価電子は、 2.0 ド・ブロイ波長の軌道上を運動していることを示している。)

上の Ne7+ の場合は 中心電荷を +8.0 としてほぼ正確な結果をだせた。これは、Fig.2 のスタート地点においては、この近似によって生じる誤差はわずかだからである。
このページ (ボーア模型における 1S 電子と 2S 電子の関係) も参照のこと。

上のセクション (Ne8+, Ne7+) で示したように、２つの 1S 電子はネオンの原子核から約 540 MM 離れたところを運動している。
また上の結果によれば、ネオンの原子核と８つの価電子の 最も短くなる距離は約 3300 MM である。
これは、ネオンの８つの価電子が 内殻の 1S 電子にぶつかることなく安全に動き回っていることを示している。

ここでは、このことを ビリアル定理 (Virial theorem) を用いて証明してみることにする。
我々は、次に示すようにネオンの８つの価電子が +Ze の中心電荷の周囲に”六面体状に”配置されていると仮定する。

(Fig.12) ネオン原子の価電子 ("有効" 中心電荷 = +Ze)

ビリアル定理によれば、”平均の”全位置エネルギー (V) と運動エネルギー (T) は次の関係にある。
< V > = -2 × < T > , E = V + T
８つの価電子の全エネルギー (E) は、-953.6126 eV なので、この位置エネルギー (V) は、2 × -953.6126 = -1907.2252 eV となる。
Fig.12 の模型を使って、電子ー核、　電子ー電子の間の電位を計算していくと、全位置エネルギー V ( 単位 eV --> J ) は次のように示せる。

この式より、Z の値を決めれば、r の値が求められる。
また、８つの電子の全運動エネルギー (T) は、953.6126 (eV) である。

また、Fig.12 より、電子１つにはたらくクーロン力の合計 (F) は（核方向の力になるが）、次のようになる。

上の式の T 中の速度 (v) と、力 F の値を用いて、遠心力がこの力 (F) に等しいと仮定する。

この r₁ は、この関係式で初めて登場する 仮の半径である。
この r₁ を用いて、次に示すように、１軌道に含まれる　ド・ブロイ波の数 (wn) を計算することができる。

中心電荷 Z が +8.4 のとき、この wn は 2.004 (ほぼ 2.0) となる。
つまり、我々はビリアル定理によって、このことを証明することができた。

2 × ド・ブロイ波の軌道において、８ という数は価電子の上限と考えられる。
また、次の正多面体は、"正二十面体"で、頂点は１２個ある。（”正十二面体”の場合は、２０の頂点がある。）
つまり、おそらく、これらの複雑な正多面体では、すべての価電子が安定に運動することはほとんど不可能である。
また、価電子が８以上になると、Fig.5 の隣り合う電子どうしの距離は、2790.74 MM よりも短くなる。
Fig.5 においては、すべての電子が安定に運動できるための、ド・ブロイ波のスペースがもう残ってないと考えられる。

2010/12/17 updated This site is link free.