三角測量で山の高さを測る
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【日本一高い山：富士山】 ♪ふーじーは に〜っぽん いーちーのー やまー♪・・・でお馴染みの富士山。日本最高峰です。 一生に一度は登ってみたいですよね〜。私も登ったことがあります。 山頂に三角点があり、「標高３７７５.６３ｍ」と記されています。  この標高は１９６２年に測量されたものですが、いったいどのようにして求められたのでしょうか？ そもそも「三角点」とは、いったい何なのでしょうか？ 【三角点】 山登りをしていると、次の写真に見られるような、地面に埋まっている石柱をしばしば目にします。  これが三角点です。 この三角点、石柱は四角いのに、どうして“三角点”と呼ばれているのでしょうか？ 山のトンガリが三角形だから・・・ではありません（笑）。 いくら山の頂きに三角点が多いからと言っても、それ以外にも三角点はありますので・・・。 “三角点”という名がついたのは、 位置を決めるのに用いた測量技術が、図形でいう三角形の角度を測ることに相当し、 高校数学に登場する「三角比」の知識をつかって計算していた「三角測量」と呼ばれる方法だったからです。  △OAB を底面とする、高さが OH の三角錐をイメージしてください。 この三角錐の高さ OH を求めるには、どのようにすれば良いでしょうか？ 「物差しで、辺 OH の長さを測ればいいじゃないか！」というのは、ごもっともな意見。 しかし、これが山の高さで、露出しているのが斜面である△ABH だけだったら・・・？ すなわち、辺 OH は“山”という土の塊の中にあり、直接測れないときはどうしましょう？ 【三角測量】 小学５年生から中学２年生にかけて、合同な図形について学びます。 三角形の場合、対応する辺の長さや角の大きさが同じである２つの三角形は合同です。 ということは、辺の長さや角の大きさが分かれば、三角形を特定できるということになります。 三角測量は、このような発想から生まれたもので、２点間の距離を測ったり、２辺間の角度を測ったりします。 ただし、距離の測定というのは意外に難しく、昔から、角度の測定により三角形を特定する方法が採られました。  先ほどの三角錐において、平地の２点ＡとＢの間の距離だけは、何とか頑張って測定し、 後は角度の測定のみで OH の長さ（高さ）を求めたいわけです。 「経緯儀」という、角度を測る測量機器を使います。 平たく言えば、水平方向、および、鉛直方向に回転する“目盛りのついた望遠鏡”です。 点Ａに経緯儀を据え置き、点Ｂを見ます。 その状態から∠BAO の大きさ分だけ水平方向に回転させ、 ∠OAH の大きさ分だけ鉛直方向に回転させたところに点Ｈがあるはずです。 点Ａに経緯儀を据え置き、点Ｂを見たときをゼロとすれば、 点Ｈを見たときに経緯儀が示す、水平方向の目盛りの数値が∠BAO の大きさに相当し、 鉛直方向の目盛りの数値が∠OAH の大きさに相当します。 同じことを、今度は点Ｂに経緯儀を据え置いて行います。 つまり、点Ａを見たときをゼロとすれば、 点Ｈを見たときに経緯儀が示す、水平方向の目盛の数値が∠ABO の大きさに相当し、 鉛直方向の目盛りの数値が∠OBH の大きさに相当します。  ∠BAO と∠ABO の大きさが分かれば、三角形の３つの角の大きさの合計は１８０度なので、  により、∠AOB の大きさが求まります。 高校１年生で学ぶ「三角比」の「正弦定理」により、  なので、  となります。辺 AO の長さが分かれば、  により、高さ OH を求めることができます。 【次回の予告】 数学の教科書レベルなら、これで、めでたし、めでたし！・・・なのですが、そこで話を終わらせません。 もう少し、突っ込んだ話をします。 実は、三角測量は高さを決めるための測量ではないのです。 測量の世界で高さを決める測量は「水準測量」と言います。 |
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