円周率πの値
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【素朴な疑問】 図形の「円」が初めて登場するのは、小学３年生くらいでしょうか。 まず、コンパスを使って円を描きます。 そのときに、「半径」や「直径」という言葉を知ります。 小学５年生になると「円周率」という言葉が登場し、円周率を用いて円の周り（円周）の長さを求めます。 円周率とは“円周が直径の何倍になっているかを表す値”で、「３.１４」と教わります。 実際には「３.１４１５９２６・・・」というように、終わりなくずーっと続く数なのですが、 小数第３位を四捨五入した「３.１４」という値で十分通用するので、ひとまず「３.１４」として教わるのです。 さて、ここで素朴な疑問です。 円周率の「３.１４１５９２６・・・」という値は、どこから出てきたのでしょうか？ 【円と正多角形】 円に内接する（円の内側で接する）正三角形と、 円に外接する（円の外側で接する）正三角形を描いてみると分かるように、 （内接する正三角形の周りの長さ）＜（円周の長さ）（外接する正三角形の周りの長さ）という関係があるので、 （内接する正三角形の周りの長さ）と（外接する正三角形の周りの長さ）を求めれば、 円周の長さは、それらの間の値をとることになります。  円の半径をｒとして求めると、  となります。高校数学で学ぶ「三角比」の知識を使うと求めることができます。 円周率をπとすると、円周の長さは「２πｒ」ですから、  となります。各辺を２ｒで割ると、次のようになります。  √３＝１.７３２０５０８・・・です。 「ひとなみにおごれや・・・」で覚えている人もいるかも知れませんが、 「開平法（平方根を求める筆算）」を使えば、覚えてなくても、求めることができます。 この値を用いると、２.５９８０７６２・・・＜π＜５.１９６１５２４・・・となります。 同じことを、正六角形ですると、どうなるのでしょうか？  ３＜π＜３.４６４１０１６・・・となり、三角形のときより範囲が狭まりました。 図を見ても、三角形のときより、辺が円周に近づいています。 【π＝３.１４１５９２６・・・】 さらに、正十二角形、正二十四角形、正四十八角形、・・・と、正多角形の辺の数を増やしていけば、 どんどん辺が円周に近づいていき、正多角形と円の区別がつきにくくなり、 それに応じて、πの値が、より狭い範囲に絞り込めるようになっていきます。 正 十二角形のとき、３.１０５８３８５・・・＜π＜３.２１５３９０３・・・ 正 二十四角形のとき、３.１３２６２８６・・・＜π＜３.１５９６５９９・・・ 正 四十八角形のとき、３.１３９３５０１・・・＜π＜３.１４６０８６２・・・ 正 九十六角形のとき、３.１４１０３１８・・・＜π＜３.１４２７１４５・・・ 正 百九十二角形のとき、３.１４１４５２３・・・＜π＜３.１４１８７３０・・・ 正 三百八十四角形のとき、３.１４１５５７６・・・＜π＜３.１４１６６２７・・・ 正 七百六十八角形のとき、３.１４１５８３８・・・＜π＜３.１４１６１０１・・・ 正 千五百三十六角形のとき、３.１４１５９０４・・・＜π＜３.１４１５９７０・・・ 正 三千七十二角形のとき、３.１４１５９２１・・・＜π＜３.１４１５９３７・・・ 正 六千百四十四角形のとき、３.１４１５９２５・・・＜π＜３.１４１５９２９・・・ 正一万二千二百八十八角形のとき、３.１４１５９２５・・・＜π＜３.１４１５９２６・・・ 正二万四千五百七十六角形のとき、３.１４１５９２６・・・＜π＜３.１４１５９２６・・・ ここまでくると、πがある一定の値であることは、うなづけることでしょう。 |
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